高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法数学归纳法的应用素材新人教A选修22.doc

数学归纳法的应用1、确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。2、数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。3、证明数列前n项和与通项公式的成立。4、证明和自然数有关的不等式。变体在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果n=m(mb）成立，那么可以推导出n=m+1也成立。用这个方法可以证明诸如“当n3时，n2>2n”这一类命题。针对偶数或奇数如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：奇数方面：第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。偶数方面：第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。递降归纳法数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,.,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,.,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,.,m，原命题均成立。如果命题P(n）在n=1,2,3,.,t时成立，并且对于任意自然数k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,.,P(k+t-1）成立，其中t是一个常量，那么P(n）对于一切自然数都成立.跳跃归纳法设P(n)表示一个与自然数n有关的命题，若(1)P(1)，P(2),P(l)成立;(2)假设P(k)成立，可以推出P (k+l)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.1