江苏高考数学一轮复习《导数在研究函数中的应用（2）》 教程学案

_第21课_导数在研究函数中的应用(2)_1. 理解导数的意义，熟练运用导数求解函数的单调区间、极值、最值2. 应用导数解决一些综合问题，如恒成立及含参数问题等.1. 阅读：选修11第8692页2. 解悟：要清楚导数与函数的关系，利用导数研究函数性质的流程要熟练，主要步骤为求导，令导数等于0，求根，列表，下结论3. 本章中对函数的重要思想方法，比如数形结合、函数与方程、分类讨论得到了又一次的加强，同学们在复习的过程中要注意加强体会.基础诊断1. 对任意xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值的充要条件是_0a21_解析：由题意得，f(x)3x22ax7a.因为对xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值，且f(x)的图象开口向上，所以f(x)0对xR恒成立，所以4a284a0，解得0a21，故所求的充要条件是0a21.2. 已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则ab_7_解析：由题意得，f(x)3x26axb.因为函数f(x)在x1处有极值0，所以即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以函数f(x)不存在极值应舍去，所以ab7.3. 若函数f(x)alnxx在区间(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是_2，)_解析：由题意得，f(x)1.因为函数f(x)alnxx在区间(1，2)上单调递增，所以10在x(1，2)上恒成立，所以ax，所以a2，故实数a的取值范围是2，)4. 已知函数f(x)x2cosx，x，则满足f(x0)>f的x0取值范围为_解析：因为函数f(x)x2cosx是偶函数，所以只需考虑区间上的情形，当x时，f(x)2xsinx0，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以f(x0)>f在上的解集为.结合函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以当x时，x0<，所以x0的取值范围是.范例导航考向 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题例1已知函数f(x)2lnxx2ax，若函数g(x)f(x)axm在区间上有两个零点，求实数m的取值范围解析：由题意得，g(x)2lnxx2m，则g(x)2x.因为x，故当g(x)0时，x1，当<x<1时，g(x)>0；当1<x<e时，g(x)<0，故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e2<0，即g(e)<g，所以函数g(x)在区间有两个零点的条件是解得1<m2，所以实数m的取值范围为.已知函数f(x)lnxx22x，则函数yf(x)的零点个数为_1_解析：由题意得f(x)x20，所以函数f(x)在(0，)上单调递增因为f(1)<0，所以函数yf(x)的零点个数为1.考向 利用导数求解不等式的恒成立(存在性)问题例2已知函数f(x)lnx1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 设mR，对任意的a(1，1)，总存在x01，e，使得不等式maf(x0)<0成立，求实数m的取值范围解析：(1) f(x)，x>0.令f(x)>0，得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间是(1，)；令f(x)<0，得0<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1)(2) 依题意得，ma<f(x0)，由(1) 知，f(x)在x1，e上是增函数，所以f(x)maxf(e)lne1，所以ma<，即ma<0对于任意的a(1，1)恒成立，所以解得m，所以实数m的取值范围是.设函数f(x)kx33x1(xR)，若对于任意x1，1，都有f(x)0成立，则实数k的值为_4_解析：由题意得，f(x)3kx23.当k0时，3kx23<0，所以函数f(x)是减函数，所以f(1)0，即k310，解得k2，故k无解；当k>0时，令f(x)3kx230，解得x.当x<时，f(x)>0，所以函数f(x)在区间上单调递增；当<x<时，f(x)<0，故函数f(x)在区间上单调递减；当x>时，f(x)>0，故函数f(x)在区间上单调递增，所以即解得所以k4.考向 利用导数求解不等式的有关问题例3设函数f(x)ax2alnx，g(x)，其中aR，e2.718 28为自然对数的底数(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 证明：当x>1时，g(x)>0.解析：(1) 由题意得，f(x)2ax(x>0)，设h(x)2ax21.当a0时，h(x)<0，所以f(x)<0，即函数f(x)在区间(0，)上单调递减；当a>0时，令h(x)0，得x1，x2(舍去)，所以函数f(x)的单调减区间为，单调增区间为.综上，当a0时，函数f(x)在区间(0，)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增(2) 要证当x>1时，g(x)>0，即证当x>1时，>e.设t(x)(x>1)，则t(x).令t(x)0，得x1，所以t(x)在区间(1，)上单调递增，所以t(x)min>t(1)e，所以当x>1时，t(x)>e成立，所以当x>1时，g(x)>0成立自测反馈1. 若函数f(x)x2exax在R上存在单调增区间，则实数a的取值范围是_(，2ln22)_解析：由题意得，f(x)2xexa.因为函数f(x)在R上存在单调增区间，所以f(x)2xexa>0，即a<2xex有解令g(x)2xex，所以g(x)2ex，令g(x)>0，即2ex>0，解得x<ln2；令g(x)<0，即2ex<0，解得x>ln2，所以g(x)maxg(ln2)2ln22，所以a<2ln22.故实数a的取值范围是(，2ln22)2. 若函数f(x)ax33x2x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围是_(3，0)(0，)_解析：由题意知，f(x)3ax26x1，因为函数f(x)ax33x2x恰有3个单调区间所以f(x)3ax26x10有两个不同的实数根，所以3643a(1)>0，且a0，解得a>3且a0.故实数a的取值范围是(3，0)(0，)3. 已知函数f(x)2f(1)lnxx，则函数f(x)的极大值为_2ln22_解析：由题意得，f(x)1(x>0)，则f(1)1，解得f(1)1，所以f(x)1(x>0)令f(x)>0，解得0<x<2，令f(x)<0，解得x>2，所以函数f(x)在区间(0，2)上单调递增，在区间(2，)上单调递减，故函数f(x)的极大值为f(2)2ln22.4. 若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_(3，1)(1，3)_解析：由题意得，f(x)3x212.令f(x)0，即3x2120，解得x2.因为函数f(x)在区间(k1，k1)上不单调，所以k1<2<k1或k1<2<k1，解得3<k<1或1<k<3.故实数k的取值范围是(3，1)(1，3)1. 有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值2. 利用函数的单调性证明不等式，求参数的取值范围，对这些问题，要有解题规律的总结和反思3. 你还有哪些体悟，写下来：7