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江苏高考数学一轮复习《导数在研究函数中的应用(1)》 教程学案

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江苏高考数学一轮复习《导数在研究函数中的应用(1)》 教程学案

_第20课_导数在研究函数中的应用(1)_1. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题2. 理解数形结合思想,转化思想在导数中的应用3. 理解函数在某点取得极值的条件.1. 阅读:选修11第8692页2. 解悟:教材第86页中间的关于函数的导数和单调性关系的结论怎么理解?它的逆命题是否成立,试举例说明你会利用导数说明(或证明)函数在给定区间上的单调性吗?函数的极值是怎么定义的?一个函数是否一定有极大值和极小值?有极大值或极小值的函数的极值是否唯一?函数的极值和导数具有怎样的关系?教材第88页的两张表格中的内容你理解吗?给你一个具体函数你会求它的极值点吗?我们知道函数的最大值和最小值是函数定义域内的性质,函数的极值是对函数定义域内某一局部而言的,它们之间的关系为:最大值可能在极值点或函数的端点取到极值不一定是最值,最值也不一定是极值会做教材第87页的例2,例3,第89页的例2,第90页的例2,并能总结下列问题类型解题的一般步骤:一是利用导数判断或证明函数在给定区间上的单调性;二是利用导数求函数的单调区间;三是利用导数求函数的极值3)、8(4)题.基础诊断1. 函数f(x)3x26lnx的单调减区间是_(0,1)_解析:由题意得,f(x)6x,令f(x)<0,则6x<0.因为x>0,解得0<x<1,故函数f(x)的单调减区间是(0,1)2. 函数f(x)(x>0)有极_大_值_解析:由题意得,f(x).令f(x)0,即0,解得x或x(舍去)当0<x<时,f(x)>0;当x>时,f(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,)上单调递增;在区间(,)上单调递减,所以函数f(x)在x处取得极大值为.3. 函数f(x)x2cosx,x的最大值是_解析:由题意得,f(x)12sinx.令f(x)0,即12sinx0,解得sinx,即x,所以当x时,f(x)>0,函数f(x)在区间上单调递增;当x时,f(x)<0,函数f(x)在区间上单调递减,所以函数f(x)在x处,取得极大值,且是最大值为.4. 若函数f(x)2x36x2m(m为常数),在上有最大值3,则此函数在上的最小值为_37_解析:因为f(x)6x212x6x(x2),由f(x)0得x0或x2.因为f(0)m,f(2)8m,f(2)40m,显然f(0)>f(2)>f(2),故m3,最小值为f(2)37.范例导航考向 利用导数研究函数的最值问题例1已知函数f(x)ax21(a>0),g(x)x3bx.(1) 若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求实数a,b的值(2) 当a3,b9时,若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28,求实数k的取值范围解析:(1) 由题意得,f(x)2ax,g(x)3x2b. 因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)g(1) 且f(1)g(1),即a11b且2a3b,解得a3,b3.(2) 记h(x)f(x)g(x),当a3,b9时,h(x)x33x29x1,所以h(x)3x26x9.令h(x)0得x13,x21.h(x),h(x)在x(,2上的变化情况如下表所示:x(,3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知当k3时,函数h(x)在区间k,2上的最大值为28;当3<k<2时,函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此实数k的取值范围是(,3已知yf(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)lnxax,当x(2,0)时,f(x)的最小值为1,则实数a的值为_1_解析:因为yf(x)是奇函数,且当x(2,0)时,f(x)的最小值为1,所以当x(0,2)时,最大值为1.令f(x)a0,得x.当0<x<时,f(x)>0;当x>时,f(x)<0,所以f(x)maxfln1lna11,解得a1.考向 利用导数研究单调性、极值问题例2已知函数f(x)x3ax23x.(1) 若f(x)在1,)上是增函数,求实数a的取值范围;(2) 若x3是f(x)的极值点,求函数f(x)在区间1,a上的最小值和最大值解析:(1) f(x)3x22ax3.由题设知x1,)时f(x)0.因为x1,所以a,所以a3(当且仅当x1时取等号),而当a3,x1时,f(x)0,所以a3.故实数a的取值范围为(,3(2) 由题设知f(3)0,即276a30,解得a5,所以f(x)x35x23x.令f(x)3x210x30,解得x3或x(舍去)当1<x<3时,f(x)<0,函数f(x)单调递减;当3<x<5时,f(x)>0,函数f(x)单调递增所以当x3时,f(x)有极小值,f(3)9.又f(1)1,f(5)15,所以函数f(x)在1,5 上的最小值是f(3)9,最大值是f(5)15.设x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点(1) 试确定常数a和b的值;(2) 试判断x1,x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由解析:(1) 由题意得,f(x)2bx1.因为x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点,所以即解得所以a的值为,b的值为.(2) 由(1)得f(x)x1,所以由f(x)>0得1<x<2;由f(x)<0,得0<x<1或x>2,所以函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(0,1)和(2,)上单调递减,所以x1是函数f(x)的极小值点,x2是函数f(x)的极大值点.考向 利用导数求解不等式的恒成立问题例3已知函数f(x)exex,其中e是自然对数的底数(1) 求证:函数f(x)是R上的偶函数;(2) 若关于x的不等式mf(x)exm1在区间(0,)上恒成立,求实数m的取值范围解析:(1) 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称;又因为f(x)exexf(x),所以函数f(x)是R上的偶函数(2) 由mf(x)exm1得m(exex)exm1,即m(exex1)ex1,令tex(t>0),因为exex1t1211,当且仅当t1时,等号成立,故m,令h(t).h(t).则当t>2时,h(t)>0;当0<t<2时,h(t)<0,所以当t2时,h(t)minh(2),则m.综上可知,实数m的取值范围为.注:分离参数后,也可利用基本不等式去处理m的范围【变式题】 设函数f(x)x2ln x,其中a为大于零的常数(1) 当a1时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2) 当x1,2时,不等式f(x)>2恒成立,求实数a的取值范围解析:(1) 当a1时, f(x)x(x>0),令f(x)>0得x>1,令f(x)<0得0<x<1.故函数f(x)的单调增区间为(1,),单调减区间为(0,1)从而函数f(x)在区间(0,)上的极小值为f(1),函数f(x)无极大值(2) 由题意得,f(x)x(x>0)不等式f(x)>2在1,2上恒成立等价于函数f(x)在区间1,2上的最小值f(x)min>2.因为a>0,所以令f(x)0得x.当0<1,即0<a1时,函数f(x)在区间1,2上递增,所以f(x)minf(1)>2,解得0<a<;当2,即a4时,函数f(x)在区间1,2上单调递减,所以f(x)minf(2)ln2>2,无解;当1<<2,即1<a<4时,函数f(x)在区间1,上单调递减,在区间,2上单调递增,所以f(x)minf()lna>2,无解综上所述,所求实数a的取值范围为.自测反馈1. 若函数f(x)在x1处取极值,则实数a_3_解析:f(x),因为函数f(x)在x1处取极值,所以f(1)0,即0,解得a3.2. 已知a>0,b>0,若函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,则ab的最大值等于_9_解析:f(x)12x22ax2b,因为函数f(x)在x1处有极值,f(1)122a2b0,所以ab6.又a>0,b>0,所以ab2,所以26,所以ab9,当且仅当ab3时取等号,所以ab的最大值为9.3. 已知f(x)x33x1,若对于在区间3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|t,则实数t的最小值是_20_解析:对于在区间3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|t,等价于对于在区间3,2上的任意x,都有f(x)maxf(x)mint.因为f(x)x33x1,所以f(x)3x233(x1)(x1),因为x3,2,所以函数f(x)在区间3,1)和(1,2上单调递增,在(1,1)上单调递减,所以f(x)maxf(2)f(1)1,f(x)minf(3)19,所以f(x)maxf(x)min20,所以t20,故实数t的最小值为20.4. 分别在曲线yex与直线yex1上各取一点M,N,则MN的最小值为_解析:要想求MN的最小值,则需过曲线上一点的切线与直线yex1平行,设切点为(x0,y0)曲线yex的导数yex,所以在点(x0,y0)的切线的斜率kex0,所以ex0e,即x01,所以切点为(1,e),所以切线的方程为yee(x1),即exy0,所以切线exy0与直线yex1的距离,故MN的最小值为.1. 导数的正负可以判断函数的单调性,但反过来未必2. 极值与导数的关系,极值点附近左右两侧的导数是否异号可以判断函数是否有极值的3. 求函数在给定区间上的最值时,需要注意区间端点的开闭对答案的影响4. 你还有哪些体悟,写下来:7

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