江苏高考数学一轮复习《等差、等比数列的综合》教程学案

第63课等差、等比数列的综合问题1. 等差、等比数列(C级要求).2. 高考中可能重点关注等差、等比数列an的前n项和Sn与通项公式an之间的相互转化，以及基本量、性质的运用.1. 阅读：必修5第6568页.2. 解悟：画出本章知识框图；写出等差、等比数列的常用性质，体会形式上的联系与区别；5、6、9、15题.基础诊断1. 已知数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为2.解析：设数列an的公差为d(d0).由aa1a7，得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故数列bn的公比q2.2. 已知等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则数列an的前6项和为24.解析：设数列an的公差为d(d0).根据题意得aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得d0(舍去)或d2，所以数列an的前6项和为S66a1d16(2)24.3. 设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn.解析：由题意得S1a11；由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1.因为Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(n1)n，所以Sn.4. 已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1<Sk<9 (kN*)，则k的值为4.解析：由题意Snan知当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，所以an2an1.又a11，所以an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an(2)n1，所以Sk.由1<Sk<9，得4<(2)k<28.又kN*，所以k4.范例导航考向 子数列问题例1已知在等差数列an中，a25，前10项和S10120，若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项、第2n项，按原顺序组成新数列bn，求数列bn的前n项和Tn.解析：设数列an的公差为d，由题意得解得所以an3(n1)22n1，所以bna2n22n12n11，所以Tn2(21222n)nn22n2n4.在等差数列an中，a1030，a2050.(1) 求数列an的通项公式；(2) 令bn2an10，证明：数列bn为等比数列.解析：(1) 设数列an的公差为d.由a1030，a2050得解得所以an12(n1)22n10.(2) 由(1)得bn2an1022n101022n4n，所以4，所以bn是首项为4，公比为4的等比数列.【注】 子数列问题需要搞清楚新数列与原数列之间的关系，既可以利用原数列的性质分析子数列，也可以利用子数列分析原数列的性质.考向 数列与不等式例2已知数列cn的通项公式为cn41，其前n项和为Tn，若不等式2n7对任意的nN*恒成立，求实数k的取值范围.解析：cn41，所以 Tn4n4n.由不等式2n7恒成立，得3k恒成立.设dn，则dn1dn，所以当n4时，dn1>dn；当n5时，dn1<dn.又d4，d5，所以 d4<d5，所以3k，即k，故实数k的取值范围是. 已知an2n1，设Tn (1)iai，若对任意正整数n，不等式Tn<an1(1)n1an2n1恒成立，求实数的取值范围.解析：当n为偶数时，设n2k，kN*，则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k，代入不等式Tn<an1(1)n1an2n1，得2k<4k，从而<.设f(k)，则f(k1)f(k).因为kN*，所以f(k1)f(k)>0，所以函数f(k)单调递增，所以f(k)min2，所以<2；当n为奇数时，设n2k1，kN*，则T2k1T2ka2k2k(4k1)12k，代入不等式Tn<an1(1)n1an2n1，得(12k)<(2k1)4k，从而>4k.因为kN*，所以4k的最大值为4，所以>4.综上所述，实数的取值范围为(4，2).【注】 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.考向 新定义(类“等差”“等比”数列)问题例3若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”.已知数列an满足an2n11.判断数列an是否为“等比源数列”，并证明你的结论.解析：数列an不是“等比源数列”. 用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列，因为an2n11，所以amanak.由题意得aamak，所以(2n11)2(2m11)(2k11)，即22nm12nm12k12km1.又mnk，m，n，kN*，所以2nm11，nm11，k11，km1，所以22nm12nm12k12km为偶数，与22nm12nm12k12km1矛盾，所以数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列.所以数列an不是“等比源数列”.上例中若数列an为等差数列，且a10，anZ(nN*).求证：数列an为“等比源数列”.解析：不妨设等差数列an的公差d0.当d0时，等差数列an为非零常数数列，则数列an为“等比源数列”；当d0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am0.为了使得数列an为“等比源数列”，只需要数列an中存在第n项，第k项(mnk)，使得aamak成立，即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立，当namm，k2amamdm时，上式成立，所以数列an中存在am，an，ak成等比数列.所以数列an为“等比源数列”.【注】 新定义问题中，需要严格以新定义为核心，借助特殊值理解题意，借助等差、等比数列的研究技巧进行变形求解.自测反馈1. 若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则1.解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由题意得13dq38，解得d3，q2，所以1.2. 设公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，若3a1，a2，a3成等差数列，且a11，则S420.解析：设数列an的公比为q，且q1.由题意得2a23a1a3，即2q3q2，解得q3或q1(舍去)，所以S420.3. 设等比数列an的前n项和Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2a54，则a82.解析：设an的公比为q.由题意得2S9S3S6，所以q1，所以解得所以a8a1q7a1q(q3)282.4. 已知an是首项为2，公差不为0的等差数列，若a1，a3，a6成等比数列，则数列an的前n项和Sn.解析：设数列an的公差为d.由题意得aa1a6，即(a12d)2a1(a15d)，即(22d)22(25d)，解得d，所以Snna1d2n.1. 解决等差(比)数列问题时，通常考虑两类方法：基本量，即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程；运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).2. 你还有那些体悟，写下来：8