第3章第3节 解一元一次方程(2)_8131

1 七年级数学 人教版上 同步练习第三章七年级数学 人教版上 同步练习第三章 第三节第三节 解一元一次方程解一元一次方程 二二 一 本周教学内容 一元一次方程 二 列方程解应用题 是初中数学的重要内容之一 许多实际问题都归结为解一种方程或方程组 所以列 出方程或方程组解应用题是数学联系实际 解决实际问题的一个重要方面 同时通过列方程解应用题 可 以培养我们分析问题 解决问题的能力 因此我们要努力学好这部分知识 列方程解应用题的主要步骤 列方程解应用题的主要步骤 1 认真审题 理解题意 弄清题目中的数量关系 找出其中的等量关系 2 用字母表示题目中的未知数 并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式 3 利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程 注意所使用的单位一定要统一 4 求出所列方程的解 5 检验所求的解是否使方程成立 又能使应用题有意义 并写出答案 学习提示 一一 数字问题数字问题 1 要搞清楚数的表示方法 一个三位数的百位数字为 a 十位数字是 b 个位数字为 c 其中 a b c 均为整数 且 1 a 9 0 b 9 0 c 9 则这个三位数表示为 100a 10b c 2 数字问题中一些表示 两个连续整数之间的关系 较大的比较小的大 1 偶数用 2N 表示 连续 的偶数用 2N 2 或 2N 2 表示 奇数用 2N 1 或 2N 1 表示 例例 1 一个三位数 三个数位上的数字之和是 17 百位上的数比十位上的数大 7 个位上的数是十位上 的数的 3 倍 求这个三位数 分析分析 由已知条件给出了百位和个位上的数的关系 若设十位上的数为 x 则百位上的数为 X 7 个 位上的数是 3X 等量关系为三个数位上的数字和为 17 解 解 设这个三位数十位上的数为 X 则百位上的数为 X 7 个位上的数是 3X X X 7 3X 17 解得 X 2 X 7 9 3X 6 答 这个三位数是 926 例例 2 一个两位数 个位上的数是十位上的数的 2 倍 如果把十位与个位上的数对调 那么所得的两位 数比原两位数大 36 求原来的两位数 等量关系 原两位数 36 对调后新两位数 解 解 设十位上的数字 X 则个位上的数是 2X 10 2X X 10X 2X 36 解得 X 4 2X 8 答 原来的两位数是 48 二 工程问题工程问题 工程问题中的三个量及其关系为 工作总量 工作效率 工作时间 经常在题目中未给出工作总量时 设工作总量为单位 1 2 例例 3 一件工作 甲独作 10 天完成 乙独作 8 天完成 两人合作几天完成 分析分析 甲独作 10 天完成 说明的他的工作效率是 1 10 乙的工作效率是 1 8 等量关系是 甲乙合作的效率 合作的时间 1 解 解 设合作 X 天完成 1 10 1 8 X 1 解得 X 40 9 答 两人合作 40 9 天完成 例例 4 一件工程 甲独做需 15 天完成 乙独做需 12 天完成 现先由甲 乙合作 3 天后 甲有其他任务 剩下工程由乙单独完成 问乙还要几天才能完成全部工程 分析分析 设工程总量为单位 1 等量关系为 甲完成工作量 乙完成工作量 工作总量 解 设乙还需 x 天完成全部工程 设工作总量为单位 1 由题意得 3 1 解 这个方程 1 12 15 5x 60 5x 33 x 6 答 乙还需 6天才能完成全部工程 例例 5 一个蓄水池有甲 乙两个进水管和一个丙排水管 单独开甲管 6 小时可注满水池 单独开乙管 8 小时可注满水池 单独开丙管 9 小时可将满池水排空 若先将甲 乙管同时开放 2 小时 然后打开丙管 问打开丙管后几小时可注满水池 分析分析 等量关系为 甲注水量 乙注水量 丙排水量 1 解解 设打开丙管后 x 小时可注满水池 由题意得 x 2 1 解这个方程 x 2 1 21x 42 8x 72 13x 30 x 2 答 打开丙管后 2小时可注满水池 三三 行程问题 行程问题 解题指导解题指导 1 行程问题中的三个基本量及其关系 路程 速度 时间 2 基本类型有 1 相遇问题 2 追及问题 常见的还有 相背而行 行船问题 环形跑道问题 3 3 解此类题的关键是抓住甲 乙两物体的时间关系或所走的路程关系 一般情况下问题就能迎刃 而解 并且还常常借助画草图来分析 理解行程问题 例例 6 甲 乙两站相距 480 公里 一列慢车从甲站开出 每小时行 90 公里 一列快车从乙站开出 每 小时行 140 公里 1 慢车先开出 1 小时 快车再开 两车相向而行 问快车开出多少小时后两车相遇 2 两车同时开出 相背而行多少小时后两车相距 600 公里 3 两车同时开出 慢车在快车后面同向而行 多少小时后快车与慢车相距 600 公里 4 两车同时开出同向而行 快车在慢车的后面 多少小时后快车追上慢车 5 慢车开出 1 小时后两车同向而行 快车在慢车后面 快车开出后多少小时追上慢车 此题关键是要理解清楚相向 相背 同向等的含义 弄清行驶过程 故可结合图形分析 1 分析 分析 相遇问题 画图表示为 甲乙 等量关系是 慢车走的路程 快车走的路程 480 公里 解 解 设快车开出 x 小时后两车相遇 由题意得 140 x 90 x 1 480 解这个方程 230 x 390 x 1 答 快车开出 1小时两车相遇 分析分析 相背而行 画图表示为 600 甲乙 等量关系是 两车所走的路程和 480 公里 600 公里 解 解 设 x 小时后两车相距 600 公里 由题意得 140 90 x 480 600 解这个方程 230 x 120 x 答 小时后两车相距 600 公里 3 分析 分析 等量关系为 快车所走路程 慢车所走路程 480 公里 600 公里 解解 设 x 小时后两车相距 600 公里 由题意得 140 90 x 480 600 50 x 120 x 2 4 答 2 4 小时后两车相距 600 公里 4 分析 分析 追及问题 画图表示为 甲乙 等量关系为 快车的路程 慢车走的路程 480 公里 解 解 设 x 小时后快车追上慢车 由题意得 140 x 90 x 480 解这个方程 50 x 480 x 9 6 答 9 6 小时后快车追上慢车 分析 分析 追及问题 等量关系为 快车的路程 慢车走的路程 480 公里 解 解 设快车开出 x 小时后追上慢车 由题意得 140 x 90 x 1 480 50 x 570 x 11 4 答 快车开出 11 4 小时后追上慢车 例例 7 甲乙两人在同一道路上从相距 5 千米的 A B 两地同向而行 甲的速度为 5 千米 小时 乙的速度 为 3 千米 小时 甲带着一只狗 当甲追乙时 狗先追上乙 再返回遇上甲 再返回追上乙 依次反复 直 至甲追上乙为止 已知狗的速度为 15 千米 小时 求此过程中 狗跑的总路程是多少 分析分析 追击问题 不能直接求出狗的总路程 但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题 狗跑的总路 程 它的速度 时间 而它用的总时间就是甲追上乙的时间 解 解 设甲用 X 小时追上乙 根据题意列方程 5X 3X 5 解得 X 2 5 狗的总路程 15 2 5 37 5 答 狗的总路程是 37 5 千米 例例 8 某船从 A 地顺流而下到达 B 地 然后逆流返回 到达 A B 两地之间的 C 地 一共航行了 7 小时 已知此船在静水中的速度为 8 千米 时 水流速度为 2 千米 时 A C 两地之间的路程为 10 千米 求 A B 两地之间的路程 分析分析 这属于行船问题 这类问题中要弄清 1 顺水速度 船在静水中的速度 水流速度 2 逆水速度 船在静水中的速度 水流速度 相等关系为 顺流航行的时间 逆流航行的时间 7 小时 解 解 设 A B 两码头之间的航程为 x 千米 则 B C 间的航程为 x 10 千米 由题意得 X 8 2 X 10 8 2 7 解这个方程 X 10 X 10 6 7 x 32 5 答 A B 两地之间的路程为 32 5 千米 四四 利润赢亏问题利润赢亏问题 1 销售问题中常出现的量有 进价 售价 标价 利润等 2 有关关系式 5 商品利润 商品售价 商品进价 商品标价 折扣率 商品进价 商品利润率 商品利润 商品进价 商品售价 商品标价 折扣率 例例 9 某商店开张 为了吸引顾客 所有商品一律按八折优惠出售 已知某种皮鞋进价 60 元一双 八折 出售后商家获利润率为 40 问这种皮鞋标价是多少元 优惠价是多少元 分析分析 通过列表分析已知条件 找到等量关系式 进价 折扣率 标价 优惠价 利润率 60 元 8 折 x 元 80 x 40 等量关系 商品利润率 商品利润 商品进价 解 解 设标价是 x 元 100 40 60 60 80 x 解之 x 105 优惠价为 80 x 84105 100 80 元 例例 10 一家商店将某种服装按进价提高 40 后标价 又以 8 折优惠卖出 结果每件仍获利 15 元 这种 服装每件的进价是多少 分析分析 探究题目中隐含的条件是关键 可直接设出成本为 X 元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 X 元 8 折 1 40 X 元 80 1 40 X 15 元 等量关系 利润 折扣后价格 进价 折扣后价格 进价 15 解 解 设进价为 X 元 80 X 1 40 X 15 X 125 答 进价是 125 元 五五 储蓄问题储蓄问题 1 顾客存入银行的钱叫做本金 银行付给顾客的酬金叫利息 本金和利息合称本息和 存入银行的 时间叫做期数 利息与本金的比叫做利率 利息的 20 付利息税 2 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 利息税 利息 税率 20 例例 11 某同学把 250 元钱存入银行 整存整取 存期为半年 半年后共得本息和 252 7 元 求银行半年 期的年利率是多少 不计利息税 分析分析 等量关系 本息和 本金 1 利率 解 解 设半年期的实际利率为 X 250 1 X 252 7 6 X 0 0108 所以年利率为 0 0108 2 0 0216 答 银行的年利率是 2 16 例例 12 为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元 他的父亲现在就参加了教育储蓄 下面有三种教育 储蓄方式 1 直接存入一个 6 年期 2 先存入一个三年期 3 年后将本息和自动转存一个三年期 3 先存入一个一年期的 后将本息和自动转存下一个一年期 你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本 金比较少 分析分析 这种比较几种方案哪种合理的题目 我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少 再进行 比较 解 解 1 设存入一个 6 年的本金是 X 元 X 1 6 2 88 20000 X 17053 2 设存入两个三年期开始的本金为 Y 元 Y 1 2 7 3 1 2 7 3 20000 X 17115 3 设存入一年期本金为 Z 元 Z 1 2 25 6 20000 Z 17894 所以存入一个 6 年期的本金最少 六六 日历中的方程日历中的方程 例例 13 1 在一份日历中 任意框出一个竖列上相邻的四个数 观察他们之间是什么关系 如果框出的四 个数的和为 58 这四天分别是几号 2 如果用一个正方形所圈出的 4 个数的和为 76 这四天分别是几号 分析分析 观察 分析四个数的关系 设法用一个未知数圈出的四个数 解 解 1 设竖列的四个数中最小的一个是 X 其余三数分别为 X 7 X 14 X 21 X X 7 X 14 X 21 58 X 4 所以这四个数是 4 号 11 号 18 号 25 号 2 设四个数中最大的一个数 Y 其余三个数是 Y 1 Y 7 Y 8 Y Y 1 Y 7 Y 8 76 Y 23 所以这四个数是 15 16 22 23 注意注意 虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究 但实际生活中的问题是千变万化的 远不止这几 类问题 因此我们要想学好列方程解应用题 就要学会观察事物 关心日常生产生活中的各种问题 如市 场经济问题等等 要会具体情况具体