最新二元一次方程组应用题经典题(解析版)教案资料.pdf

学习资料 精品文档 实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一 列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把 未知 转化为 已知 的重要方法 它的关键是把已知量和未知量 联系起来 找出题目中的相等关系 一般来说 有几个未知数就列出几个方程 所列方程必 须满足 1 方程两边表示的是同类量 2 同类量的单位要统一 3 方程两边的数值要相等 知识点二 列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1 行程问题 1 追击问题 追击问题是行程问题中很重要的一种 它的特点是同向而行 这类问题比较直 观 画线段 用图便于理解与分析 其等量关系式是 两者的行程差 开始时两者相距的路程 2 相遇问题 相遇问题也是行程问题中很重要的一种 它的特点是相向而行 这类问题也 比较直观 因而也画线段图帮助理解与分析 这类问题的等量关系是 双方所走的路程之和 总路程 3 航行问题 船在静水中的速度 水速 船的顺水速度 船在静水中的速度 水速 船的逆水速度 顺水速度 逆水速度 2 水速 注意 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行 解题方法与船顺水航行 逆水航 行问题类似 2 工程问题 工作效率 工作时间 工作量 3 商品销售利润问题 1 利润 售价 成本 进价 2 3 利润 成本 进价 利 润率 4 标价 成本 进价 1 利润率 5 实际售价 标价 打折率 注意 商品利润 售价 成本 中的右边为正时 是盈利 为负时 就是亏损 打几折就 是按标价的十分之几或百分之几十销售 例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百 分之八十 4 储蓄问题 1 基本概念 本金 顾客存入银行的钱叫做本金 利息 银行付给顾客的酬金叫做利息 本息和 本金与利息的和叫做本息和 期数 存入银行的时间叫做期数 利率 每个期数内的利息与本金的比叫做利率 利息税 利息的税款叫做利息税 2 基本关系式 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 本金 本金 利率 期数 本金 1 利率 期数 利息税 利息 利息税率 本金 利率 期数 利息税率 学习资料 精品文档 税后利息 利息 1 利息税率 年利率 月利率 12 月利率 年利率 1 12 注意 免税利息 利息 5 配套问题 解这类问题的基本等量关系是 总量各部分之间的比例 每一套各部分之间的比例 6 增长率问题 解这类问题的基本等量关系式是 原量 1 增长率 增长后的量 原量 1 减少率 减少后的量 7 和差倍分问题 解这类问题的基本等量关系是 较大量 较小量 多余量 总量 倍数 倍量 8 数字问题 解决这类问题 首先要正确掌握自然数 奇数 偶数等有关概念 特征及其表示 如当 n 为整数时 奇数可表示为2n 1 或 2n 1 偶数可表示为2n 等 有关两位数的基本等量关系 式为 两位数 十位数字10 个位数字 9 浓度问题 溶液质量 浓度 溶质质量 10 几何问题 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质 周长 面积等计算公 式 11 年龄问题 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等 两人的年龄差是 永远不会变的 12 优化方案问题 在解决问题时 常常需合理安排 需要从几种方案中 选择最佳方案 如网络的使用 到 不同旅行社购票等 一般都要运用方程解答 得出最佳方案 注意 方案选择题的题目较长 有时方案不止一种 阅读时应抓住重点 比较几种方案得 出最佳方案 知识点三 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时 一般可分为以下六个步骤 1 审题 弄清题意及题目中的数量关系 2 设未知数 可直接设元 也可间接设元 3 找出题目中的等量关系 4 列出方程组 根据题目中能表示全部含义的等量关系列出 方程 并组成方程组 5 解所列的方程组 并检验解的正确性 6 写出答案 要点诠释 1 解实际应用问题必须写 答 而且在写答案前要根据应用题的实际意义 检查求得的 结果是否合理 不符合题意的解应该舍去 2 设 答 两步 都要写清单位名称 3 一般来说 设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 4 列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系 审题时 注意从文字 图表中获得有关信息 学习资料 精品文档 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写 设未知数和写答案都要带单位 列方程组 与解方程组时 不要带单位 正确书写速度单位 避免与路程单位混淆 在寻找等量 关系时 应注意挖掘隐含的条件 列方程组解应用题一定要注意检验 类型一 列二元一次方程组解决 行程问题 1 甲 乙两地相距 160 千米 一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲 乙两地相向而行 1 小时 20 分相遇 相遇后 拖拉机继续前进 汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回 在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机 这时 汽车 拖拉机各自行驶了多少千米 思路点拨 画直线型示意图理解题意 1 这里有两个未知数 汽车的行程 拖拉机的行程 2 有两个等量关系 相向而行 汽车行驶 1 1 3 小时的路程 拖拉机行驶 1 1 3 小时的路程 160千米 同向而行 汽车行驶 1 2 小时的路程 拖拉机行驶 1 1 2 小时的路程 解 设汽车的速度为每小时行千米 拖拉机的速度为每小时千米 根据题意 列方程组 4 160 3 11 1 22 xy xy 解这个方程组 得 90 30 x y 1111 901165 301185 3232 答 汽车行驶了165千米 拖拉机行驶了85 千米 总结升华 根据题意画出示意图 再根据路程 时间和速度的关系找出等量关系 是行 程问题的常用的解决策略 学习资料 精品文档 变式 1 甲 乙两人相距 36 千米 相向而行 如果甲比乙先走2 小时 那么他们在乙 出发 2 5 小时后相遇 如果乙比甲先走2 小时 那么他们在甲出发3 小时后相遇 甲 乙两 人每小时各走多少千米 变式 2 两地相距 280 千米 一艘船在其间航行 顺流用14 小时 逆流用 20 小时 求 船在静水中的速度和水流速度 类型二 列二元一次方程组解决 工程问题 2 一家商店要进行装修 若请甲 乙两个装修组同时施工 8 天可以完成 需付两 组费用共 3520元 若先请甲组单独做6 天 再请乙组单独做12天可完成 需付两组费用共 3480 元 问 1 甲 乙两组工作一天 商店应各付多少元 2 已知甲组单独做需12天完成 乙组单独做需 24天完成 单独请哪组 商店所付费用最少 思路点拨 本题有两层含义 各自隐含两个等式 第一层含义 若请甲 乙两个装修组 同时施工 8 天可以完成 需付两组费用共3520元 第二层含义 若先请甲组单独做6 天 再请乙组单独做 12 天可完成 需付两组费用共3480元 设甲组单独做一天商店应付x 元 乙 组单独做一天商店应付y 元 由第一层含义可得方程8 x y 3520 由第二层含义可得方程 6x 12y 3480 解 1 设甲组单独做一天商店应付x 元 乙组单独做一天商店应付y 元 依题意得 解得 答 甲组单独做一天商店应付300 元 乙组单独做一天商店应付140 元 2 单独请甲组做 需付款300 12 3600 元 单独请乙组做 需付款24 140 3360 元 故请乙组单独做费用最少 答 请乙组单独做费用最少 总结升华 工作效率是单位时间里完成的工作量 同一题目中时间单位必须统一 一般 学习资料 精品文档 地 将工作总量设为1 也可设为a 需根据题目的特点合理选用 工程问题也经常利用线 段图或列表法进行分析 变式 小明家准备装修一套新住房 若甲 乙两个装饰公司合作 6周完成需工钱5 2 万元 若甲公司单独做4 周后 剩下的由乙公司来做 还需9 周完成 需工钱 4 8 万元 若只 选一个公司单独完成 从节约开支的角度考虑 小明家应选甲公司还是乙公司 请你说明理 由 类型三 列二元一次方程组解决 商品销售利润问题 3 有甲 乙两件商品 甲商品的利润率为5 乙商品的利润率为4 共可获利 46 元 价格调整后 甲商品的利润率为4 乙商品的利润率为5 共可获利 44 元 则两件商 品的进价分别是多少元 思路点拨 做此题的关键要知道 利润 进价 利润率 解 甲商品的进价为x 元 乙商品的进价为y 元 由题意得 解得 答 两件商品的进价分别为600 元和 400 元 变式 1 2011湖南衡阳 李大叔去年承包了10 亩地种植甲 乙两种蔬菜 共获利 18000 元 其中甲种蔬菜每亩获利2000元 乙种蔬菜每亩获利1500 元 李大叔去年甲 乙两种蔬 菜各种植了多少亩 学习资料 精品文档 变式 2 某商场用 36 万元购进 A B 两种商品 销售完后共获利6 万元 其进价和售价 如下表 AB 进价 元 件 1200 1000 售价 元 件 1380 1200 注 获利 售价 进价 求该商场购进A B 两种商品各多少件 类型四 列二元一次方程组解决 银行储蓄问题 4 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用 现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱 一种是年利率为2 25 的教育储蓄 另一种是年利率为 2 25 的一年定期存款 一年后可取出 2042 75元 问这两种储蓄各存了多少钱 利息所得税 利息金额 20 教 育储蓄没有利息所得税 思路点拨 设教育储蓄存了 x 元 一年定期存了y 元 我们可以根据题意可列出表格 教育储蓄一年定期合计 现在x y 一年后2 25 xx 2 25 80 yy 2042 75 解 设存一年教育储蓄的钱为x 元 存一年定期存款的钱为y元 则列方程 解得 答 存教育储蓄的钱为1500 元 存一年定期的钱为500 元 总结升华 我们在解一些涉及到行程 收入 支出 增长率等的实际问题时 有时候不 容易找出其等量关系 这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系 题目中 的相等关系随之浮现出来 学习资料 精品文档 变式 1 李明以两种形式分别储蓄了2000元和 1000元 一年后全部取出 扣除利息 所得税可得利息 43 92元 已知两种储蓄年利率的和为3 24 问这两种储蓄的年利率各是百 分之几 注 公民应缴利息所得税 利息金额 20 变式 2 小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用 在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 第一种 一年期整存整取 共反复存了3 次 每次存款数都相同 这种存款银行利率为 年息 2 25 第二种 三年期整存整取 这种存款银行年利率为2 70 三年后同时取出共得 利息 303 75元 不计利息税 问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元 类型五 列二元一次方程组解决 生产中的配套问题 5 某服装厂生产一批某种款式的秋装 已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖 5 只 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装 不考虑布料的损耗 应分别用多少布 料才能使做的衣身和衣袖恰好配套 思路点拨 本题的第一个相等关系比较容易得出 衣身 衣袖所用布料的和为132 米 第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的 即衣袖的数量等于衣身的数量的 2 倍 注意 别把 2 倍的关系写反了 解 设用米布料做衣身 用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套 根据题意 得 答 用 60米布料做衣身 用72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套 总结升华 生产中的配套问题很多 如螺钉和螺母的配套 盒身与盒底的配套 桌面与 桌腿的配套 衣身与衣袖的配套等 各种配套都有数量比例 依次设未知数 用未知数可把 它们之间的数量关系表示出来 从而得到方程组 使问题得以解决 确定等量关系是解题的 关键 学习资料 精品文档 变式 1 现有 190张铁皮做盒子 每张铁皮做8 个盒身或 22 个盒底 一个盒身与两个盒 底配成一个完整盒子 问用多少张铁皮制盒身 多少张铁皮制盒底 可以正好制成一批完整 的盒子 变式 2 某工厂有工人 60 人 生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品 每人每天 生产螺栓 14 个或螺母 20 个 应分配多少人生产螺栓 多少人生产螺母 才能使生产出的螺 栓和螺母刚好配套 变式 3 一张方桌由 1 个桌面 4 条桌