数学《三角函数》 三角函数的图象与性质学案.doc

第7课时 三角函数的图象与性质基础过关1用“五点法”作正弦、余弦函数的图象“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”由这五个点大致确定函数的位置与形状2ysinx，ycosx，ytanx的图象函数ysinxycosxytanx图象注： 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 正切函数的对称中心为 3“五点法”作yAsin(x)(>0)的图象令xx转化为ysinx，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象函数yAsin (x)的图象与函数ysinx的图象关系振幅变换：yAsinx(A>0，A1)的图象，可以看做是ysinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的周期变换：ysinx(>0，1)的图象，可以看做是把ysinx的图象上各点的横坐标 (>1)或 (0<<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的由于ysinx周期为2，故ysinx(>0)的周期为 相位变换：ysin(x)(0)的图象，可以看做是把ysinx的图象上各点向 (>0)或向 (<0)平移 个单位而得到的由ysinx的图象得到yAsin(x)的图象主要有下列两种方法：ysinx相位变换周期变换振幅变换ysinx周期变换相位变换振幅变换或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移 个单位后一种方法第二步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移 个单位例1.已知函数yAsin(x)(A>0，>0)若A3，作出函数在一个周期内的简图 若y表示一个振动量，其振动频率是，当x时，相位是，求和321-1-2-3 xy0解：(1) y3sin()列表(略)图象如下：02xy03030 (2)依题意有： 变式训练1：已知函数y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T=，初相=.（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.列表，并描点画出图象：x-X02y=sinX010-10y=2sin(2x+)020-20（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.例2已知函数y=3sin（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解 （1）列表：x 023sin030-30描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此为对称轴方程.令x-=k(kZ)得x=+2k(kZ).对称中心为 (kZ).变式训练2：已知函数 的最小正周期为且图象关于对称；(1) 求f(x)的解析式；(2) 若函数y1f(x)的图象与直线ya在上中有一个交点，求实数a的范围解：（1）wR 当w1时， 此时不是它的对称轴w1 （2）0yx如图：直线ya在上与y1f(x)图象只有一个交点 或a1例3如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，则A=-，T=2=，=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.点N，-2+=0，=，所求解析式为y=-sin. 方法二 由图象知A=，以M为第一个零点，P为第二个零点.列方程组 解之得.所求解析式为y=sin. 变式训练3：函数y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分图象如图，则函数表达式为( )A. y=-4sin B. y=-4sinC. y=4sin D. y=4sin答案 B例4设关于x的方程cos2xsin2xk1在0，内有两不同根，求的值及k的取值范围解：由cos2xsin2xk1得 2sin(2x)k1即sin(2x)设c: ysin(2x)，l: y，在同一坐标系中作出它们的图象(略)由图易知当1时, 即0k1时直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为、，从图象中还可以看出、关于x对称.。故变式训练4.已知函数f (x)sin(x)(>0，0)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值解：由f (x)是偶函数，得f(x)f (x)即sin(x)sin(x)cossinxcossinx对任意x都成立，且0， cos0依题意设0 由f(x)的图象关于点M对称，得f(x)f (x)取x0得f （）f （） f ()0f()sin()cos0又0得k(2k1) (k0，1，2)当k0时， f (x)sin()在0，上是减函数；当k1时，2 f (x)sin(2x)在0，上是减函数；当k2时， f (x)sin(x)在0，上不是减函数；或2小结归纳小结归纳1图象变换的两种途径 先相位变换后周期变换ysinx ysin(x) ysin(x) 先周期变换后相位变换ysinx ysinxysin (x)2给出图象求解析式yAsin(x)B的难点在于、的确定，本质为待定系数法，基本方法是： “五点法”运用“五点”中的一点确定 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T- 7 -用心 爱心 专心