黑龙江省海林市朝鲜族中学高中数学必修二：2.3.4 平面与平面垂直的性质3 课件

第二章点 直线 平面之间的位置关系 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 4平面与平面垂直的性质 1 理解平面与平面垂直的性质定理 2 能应用面面垂直的性质定理证明空间中线 面的垂直关系 3 理解线线垂直 线面垂直 面面垂直的内在联系 对应学生用书50页 在实际生活中 我们常遇到这样的问题 木匠师傅要在墙面上钉木条 怎样才能保证木条与地面垂直呢 我们知道墙与地面是垂直的 设交线为l 这时只需要将木条在墙面上与l垂直 就可以了 这是为什么 通过本节的学习 你将解开这一谜底 对应学生用书50页 面面垂直的性质定理 对应学生用书50页 一个平面内 交线 a a l 线面 垂直 探究1 由线面垂直的性质定理 知垂直于同一个平面的两条直线平行 试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗 提示 可能平行 也可能相交 如图 与 平行 与 相交 对应学生用书50页 探究2 两个平面垂直 其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗 提示 不一定 只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面 对应学生用书51页 要点一平面与平面垂直的性质的应用在运用面面垂直性质定理时必须注意 1 线在面内 2 线垂直于两面的交线 由此才可以得出线面垂直 在应用线面平行 垂直的判定和性质定理证明有关问题时 在善于运用转化思想的同时 还应注意寻找线面平行 垂直所需的条件 例1如下图所示 P是四边形ABCD所在平面外的一点 ABCD是 DAB 60 且边长为a的菱形 侧面PAD为正三角形 其所在平面垂直于底面ABCD 1 若G为AD边的中点 求证 BG 平面PAD 2 求证 AD PB 分析 ABCD是边长为a的菱形 面PAD 面ABCD 解答本题可先由面 面得线 面 再进一步得出线 线 证明 1 连接PG 由题知 PAD为正三角形 G是AD的中点 PG AD 又平面PAD 平面ABCD PG 平面ABCD PG BG 又 四边形ABCD是菱形且 DAB 60 ABD是正三角形 BG AD 又AD PG G BG 平面PAD 2 由 1 可知BG AD PG AD 所以AD 平面PBG 所以AD PB 规律方法 证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 再一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 变式1如图所示 CD CD AB CE EF FEC 90 求证 面EFD 面DCE 证明 CD CD AB AB CD 又 EF CD EF 又 FEC 90 EF EC 又EC CD C EF 面DCE 又EF 面EFD 面EFD 面DCE 例2已知 如图 平面PAB 平面ABC 平面PAC 平面ABC AE 平面PBC E为垂足 1 求证 PA 平面ABC 2 当E为 PBC的垂心时 求证 ABC是直角三角形 分析 由面面垂直向线面垂直转化 一般要作一条垂直于交线的直线 才能应用性质定理 证明 1 在平面ABC内取一点D 作DF AC于F 平面PAC 平面ABC 且交线为AC DF 平面PAC 又 PA 平面PAC DF PA 作DG AB于G 同理可证DG PA DG DF D PA 平面ABC 2 连接BE并延长交PC于H E是 PBC的垂心 PC BH 又AE 平面PBC 故AE PC 且AE BE E PC 平面ABE PC AB 又 PA 平面ABC PA AB 且PA PC P AB 平面PAC AB AC 即 ABC是直角三角形 规律方法 已知两个平面垂直时 过其中一个平面内的一点作交线的垂线 则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面 于是面面垂直转化为线面垂直 由此得到结论 两个相交平面同时垂直于第三个平面 则它们的交线也垂直于第三个平面 证明 2 题的关键是要灵活利用 1 题的结论 变式2如图 已知平面 平面 平面 平面 a b 且a b 求证 证明 如图 在平面 内作直线PQ a 在平面 内作直线MN b 垂足分别为Q N a PQ 同理MN PQ MN PQ MN PQ 同理a PQ a PQ a Q 要点二线线 线面 面面垂直的综合应用在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直 最终达到目的 其转化关系如下 例3如图 在四棱锥P ABCD中 侧面PAD是正三角形 且与底面ABCD垂直 底面ABCD是边长为2的菱形 BAD 60 N是PB的中点 过A D N三点的平面交PC于M E为AD的中点 求证 1 EN 平面PDC 2 BC 平面PEB 3 平面PBC 平面ADMN 分析 1 利用线面平行的判定定理证明 证EN DM 2 先证AD 平面PEB 再由AD BC证明 3 转化为证明PB 平面ADMN 证明 1 AD BC BC 平面PBC AD 平面PBC AD 平面PBC 又平面ADMN 平面PBC MN AD MN 又 BC AD MN BC 又N是PB的中点 点M为PC的中点 2 四边形ABCD是边长为2的菱形 且 BAD 60 BE AD 又 侧面PAD是正三角形 且E为中点 PE AD AD 平面PBE 又 AD BC BC 平面PEB 3 由 2 知AD 平面PBE 又PB 平面PBE AD PB 又 PA AB N为PB的中点 AN PB 且AN AD A PB 平面ADMN 又 PB 平面PBC 平面PBC 平面ADMN 规律方法 运用平面垂直的性质定理时 一般需作辅助线 基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线 这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直 变式3如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是 DAB 60 且边长为a的菱形 侧面PAD为正三角形 其所在平面垂直于底面ABCD 1 求证 AD PB 2 若E为BC边的中点 能否在棱上找到一点F 使平面DEF 平面ABCD 并证明你的结论 证明 1 设G为AD的中点 连接PG PAD为正三角形 PG AD 在菱形ABCD中 DAB 60 G为AD的中点 BG AD 又BG PG G AD 平面PGB PB 平面PGB AD PB 2 当F为PC的中点时 满足平面DEF 平面ABCD 取PC的中点F 连接DE EF DF 在 PBC中 FE PB 在菱形ABCD中 GB DE 而FE 平面DEF DE 平面DEF EF DE E 平面DEF 平面PGB 由 1 得PG 平面ABCD 而PG 平面PGB 平面PGB 平面ABCD 平面DEF 平面ABCD 典例P是二面角 l 内的一点 P P PA PB 且 APB 30 求此二面角的大小 对应学生用书52页 错解 如图 过点A在 内作AD l交l于点D 连接BD PD PA PA l 又 AD l l 平面PAD l PD 又 PB PB l l 平面PBD l BD ADB即为二面角 l 的平面角 ADB 180 APB 150 即二面角 l 的大小为150 错因分析 错解中并没有证明P A D B四点共面 故不能得出 ADB 180 APB 其原因在于作图方法不好 凭直觉处理问题 正解 设相交直线PA PB所确定的平面为 l D 连接AD BD PA PB l l l PA l PB l 又AD BD 且 l D AD BD l AD l BD ADB为二面角 l 的平面角 由平面几何知识得P A D B四点共圆 APB 30 ADB 150 即二面角 l 的大小为150 易错补练已知 是三个不同平面 l 求证 l 证明 证法一 设 a b 在 内任取一点P 过P在 内作直线m a n b 如图 m n 又 l m l n l l 证法二 如图 a b 在 内作m a 在 内作n b m n m n 又 n m m 又 l m m l l 证法三 在l上任取一点P a b 在 内作PQ a于Q 在 内作PM b于M PQ PM 由过一点有且只有一条直线与平面垂直 PQ与PM重合 又PQ PM PQ PM就是直线l l 1 直线与直线垂直的判断方法 1 用定义 如果两条直线所成的角是直角 那么这两条直线垂直 2 用平行的性质 两条平行线中的一条垂直于第三条直线 那么另一条也垂直于这条直线 对应学生用书52页 3 用线面垂直的性质 一条直线垂直于一个平面 那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线 4 用平面几何的知识 等腰三角形底边上的中线或顶角平分线垂直于底边 矩形的邻边垂直 菱形的对角线垂直等等 2 直线与平面垂直的判断方法 1 用线面垂直定义 如果一条直线垂直于一个平面内任一直线 这条直线垂直于该平面 2 用线面垂直判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线与平面垂直 3 用线面垂直性质 如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面 则另一条直线也必垂直于这个平面 4 用面面垂直性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 5 用面面平行性质 如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面 那么这条直线必垂直于另一个平面 6 用面面垂直性质 如果两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么这两个相交平面的交线必垂直于第三个平面 这六种判定线面垂直的方法的实质是转化与化归数学思想的体现 它们是线线 线面 面面垂直的相互转化 3 平面与平面垂直的判断方法 1 用定义 证明这两个平面所成的二面角是直二面角 2 用判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 3 用面面平行的性质 两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面 则另一个平面也垂直于第三个平面 1 平面 平面 直线l 直线m 则直线l m的位置关系是 A 相交B 平行C 异面D 以上都有可能解析 根据题意 l m可能相交 平行或异面 答案 D 对应学生用书53页 2 已知平面 平面 l 点A A l 直线AB l 直线AC l 直线m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB mB AC mC AB D AC 解析 如图所示 AB l m AC l m l AC m AB l AB 答案 D 3 已知平面 平面 平面 平面 l 点M 过M作直线m 则直线m满足 即可 解析 根据线面垂直的判定定理可知m满足m l 答案 m l 4 下列命题 l m 则l m l 则l l 则l与 相交或l 或l 其中正确的是 解析 对于 l与m可能相交 平行或异面 对于 只有当l与 的交线垂直时 才有 成立 对于 通过画图可知正确 答案 PC CD 平面PCD 平面ABCD CD为交线 PC 平面ABCD EO 平面ABCD 又EO 平面EDB 故有平面EDB 平面ABCD