黑龙江省海林市朝鲜族中学高中数学必修二：2.3.2 平面与平面垂直的判定3 课件

第二章点 直线 平面之间的位置关系 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 2平面与平面垂直的判定 1 平面与平面垂直的定义 2 平面与平面垂直的判定定理 并能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直 平面和平面垂直 3 掌握二面角 二面角的平面角的概念 会求简单的二面角的大小 对应学生用书44页 1 当开启房门时 为什么房门转到任何位置时 门所在平面都与地面垂直 2 当我们在使用笔记本电脑时 为了便于操作 需要将显示屏打开一定的角度 这样我们就会得到两个平面 如何来刻画两个平面之间的这种张角呢 当显示屏打开后角度又会怎样变化呢 对应学生用书44页 1 平面内的一条直线把这个平面分成两部分 其中的每一部分都叫做 对应学生用书44页 半平面 2 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 这条直线叫做二面角的棱 如图 1 中的AB 2 中的l 这两个半平面叫做二面角的 如图中的 二面角 面 3 以二面角棱上任意一点为端点 在两个半平面内分别作的两条射线 则这两条射线所成的角 叫做 4 二面角的大小 可以用来度量 二面角的平面角是几度 就说这个二面角是几度 垂直于棱 二面角的平面角 它的平面角 5 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 6 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面 7 两个互相垂直的平面通常画成下图的样子 此时 把直立平面的竖边画成与水平平面的垂直 平面 与 垂直 记作 互相垂直 横边 8 定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 这个定理说明 可以由证明平面与平面垂直 垂线 直线与平面垂直 探究1 刀刃可近似地看作二面角 要使刀锋利 则二面角的平面角应满足怎样的条件 提示 其平面角应尽量小 对应学生用书45页 探究2 如图 检查工件的相邻两个平面是否垂直时 只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上 另一边在工作的另一个面上转动 观察尺边是否和这个面密合就可以了 这是为什么 提示 当它们十分密合之时 就说明这两个平面所成的二面角的平面角为90 所以这两个平面互相垂直 对应学生用书45页 要点一定义法判定平面与平面垂直利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直 判定的方法是 1 找出两个相交平面的平面角 2 证明这个平面角是直角 3 根据定义 这两个平面互相垂直 证明 AB AD CB CD a ABD与 BCD是等腰三角形 取BD的中点E 连结AE CE 则AE BD BD CE AEC为二面角A BD C的平面角 AC a AC2 AE2 CE2 AE CE 即 AEC 90 即二面角A BD C的平面角为90 平面ABD 平面BCD 规律方法 利用定义证两平面垂直的基本思路是作出二面角的平面角 计算二面角的平面角为90 此法较适合由等腰或等边三角形构成的几何体 变式1如图 过S点引三条长度相等但不共面的线段SA SB SC 且 ASB ASC 60 BSC 90 求证 平面ABC 平面BSC 证明 取BC的中点D 由SA SB SC ASB ASC 60 可得AB AC SA 连接SD AD 则AD BC SD BC 所以 ADS是二面角A BC S的平面角 要点二面面垂直的判定定理的应用利用面面垂直的判定定理 具体作法是在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线 例2如图所示 ABC为正三角形 EC 平面ABC BD CE 且CE CA 2BD M是EA的中点 求证 1 DE DA 2 平面BDM 平面ECA 3 平面DEA 平面ECA 分析 由题目可获取以下主要信息 EC 平面ABC DB 平面ABC ABC是等边三角形 CE CA 2BD ME MA 解答本题 1 只要证明三角形全等 2 注意M为EA的中点 可取CA的中点N 证明平面ECA的垂线在BDM内 3 与 2 类似 证明 1 如图所示 取EC的中点F 连接DF 规律方法 证明平面与平面垂直的方法有两个 1 利用定义 证明二面角的平面角为直角 2 利用面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则两个平面互相垂直 变式2 2010年高考课标全国卷 如图 已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为H PH是四棱锥的高 解 1 证明 因为PH是四棱锥P ABCD的高 所以AC PH 又AC BD PH BD都在平面PBD内 且PH BD H 所以AC 平面PBD 又AC 平面PAC 故平面PAC 平面PBD 要点三简单的二面角的求法求二面角的大小关键是作出二面角 作二面角的平面角的方法 法一 定义法 在二面角的棱上找一特殊点 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图 AOB为二面角 a 的平面角 法二 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 如图 AOB为二面角 l 的平面角 法三 垂线法 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线 过垂足作棱的垂线 利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 如图 ABO为二面角 l 的平面角 2 证明 由 1 知 PD 平面ABCD PD AC 而四边形ABCD是正方形 AC BD 又BD PD D AC 平面PDB 同时 AC 平面PAC 平面PAC 平面PBD 3 由 1 知PD BC 又BC DC BC 平面PDC BC PC PCD为二面角P BC D的平面角 在直角 PCD中 PD CD a PCD 45 二面角P BC D的平面角为45 规律方法 立体几何的计算并非单纯的数字计算 而是与作图和证明相结合的 立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画 证 算三步 画 是画图 添加必要的辅助线 或画出所要求的几何量 或进行必要的转化 证 是证明 用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求 然后进行最后一步计算 解 1 证明 SAB SAC 90 SA AC SA AB 又AB AC A SA 平面ABC SA BC 又 ACB 90 AC BC 又SA AC A BC 平面SAC SC BC 对应学生用书47页 错解 平面PAD 平面ABCD 且BD 平面ABCD BD 平面PAD 又 BD 平面MBD 平面MBD 平面PAD 错因分析 上述解法的错误在于误用两个平面垂直的性质定理为 两个平面互相垂直 则一个平面内的直线垂直于另一个平面 没有抓住面面垂直的性质定理的一个关键条件 直线必须与交线垂直 易错补练如图所示 已知ABCD A1B1C1D1为长方体 且底面ABCD为正方形 试问 截面ACB1与对角面BD1垂直吗 解 四边形ABCD是正方形 AC BD BB1 底面ABCD AC B1B 又 BD BB1 B 故AC 对角面BD1 已知AC在截面ACB1内 截面ACB1 对角面BD1 1 平面与平面垂直的判定定理告诉我们 可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直 通常我们将其记为 线面垂直 则面面垂直 因此处理面面垂直问题 即空间问题 转化为处理线面垂直问题 进一步转化为处理线线垂直问题 即平面问题 来解决 对应学生用书47页 2 判定平面与平面垂直的方法 定义法和定理法 3 两个平面垂直需要用 二面角 的概念 学习二面角要注意 1 二面角的大小是用平面角来度量的 2 二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置惟一确定的 与选择棱上的点的位置无关 3 平面角的两边分别在二面角的两个面内 且两边都与二面角的棱垂直 这个角所确定的平面与棱垂直 4 异面直线所成的角 斜线与平面所成的角 二面角统称为空间角 其求解方法相同 步骤是 第一步 作出它们的平面角 第二步 证明所作的角满足定义 第三步 将作出的角放在三角形中 计算出平面角的大小 又简称为 一作二证三计算 1 自二面角 l 的棱l上任选一点O 若 AOB是二面角 l 的平面角 则必须具有条件 A AO BO AO BO B AO l BO lC AB l AO BO D AO l BO l且AO BO 对应学生用书47页 解析 由二面角的平面角的定义可知选D 答案 D 2 Rt ABC在平面 内的射影是 A1B1C1 设直角边AB 则 A1B1C的形状为 A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 以上三种情况都有可能 解析 设 B为直角 由条件知AB 由线面平行的性质知AB A1B1 又BC AB BC A1B1 又知BB1 BB1 A1B1 A1B1 面BB1C A1B1 B1C A1B1C为直角三角形 答案 A 3 如图 过矩形ABCD的顶点A作PA 平面ABCD 图中互相垂直的平面有 A 2对B 3对C 4对D 5对 解析 PA 平面ABCD PA 平面PAB PA 平面PAD 平面PAB 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD 又DA AB DA PA DA 平面PAB 又DA 平面PAD 平面PAB 平面PAD 又 BC AB BC PA BC 平面PAB 又 BC 平面PBC 平面PBC 平面PAB 同理 平面PDC 平面PAD 共有2 1 1 1 5对 答案 D 4 将锐角A为60 边长为a的菱形沿BD折成60 的二面角 则点A与点C之间的距离为 5 如图所示 将矩形ABCD沿对角线BD把 ABD折起 使A移到A1点 且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上 求证 平面A1BC 平面A1BD 证明 连接A1O 如图 A1在平面BCD上的射影O在CD上 A1O 平面BCD 又BC 平面BCD BC A1O 又BC CD A1O CD O BC 平面A1CD BC A1D 又A1D A1B A1B BC B A1D 平面A1BC A1D 平面A1BD 平面A1BC 平面A1BD