黑龙江省海林市朝鲜族中学高中数学必修二：2.1.1 平面 导学案 Word版缺答案
【新课教学过程设计（一）】第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系第2.1.1节平面【本节教材分析】（一）三维目标1.知识与技能（1）能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”（2）理解平面的无限延展性（3）理解公理1、2、32过程与方法（1）正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系（2）初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化. （3）初步应用公理1、2、3解决简单的点、线共线共面问题.3情感态度与价值观（1）提高空间想像能力（2）通过图形、符号、语言的转换体会数学的美，激发学习兴趣（二）教学重点平面基本性质的三个公理（三）教学难点三种数学语言的转换与翻译，利用三个公理证明共点、共线、共面问题.（四）教学建议平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.【新课导入设计】导入一：在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形这节课我们就来认识够构成这些空间图形的基本元素及它们之间的关系和简单性质导入二：观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.导入三：(情境导入) 大家都看过电视剧西游记吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.【课堂结构】提出问题怎样理解平面这一最基本的几何概念;平面的画法与表示方法;如何描述点与直线、平面的位置关系？直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.确定一条直线需要几个点？引导学生观察教室的门由几个点确定.两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.文字语言、图形语言、符号语言.平面的基本性质小结.讨论结果：平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3. 图2 图3 平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）. 图4 图5下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经过点A）Aa元素与集合间的关系点A在直线a外（或直线a不经过点A）Aa点A在平面内（或平面经过点A）A点A在平面外（或平面不经过点A）A直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述. 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若Aa,Ba,且A,B,则a. 图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若Aa,Ba,且A,B,则a.如图（图7）.在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等. 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上. 这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P,且P=l,且Pl.图9 公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线. 由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.“平面的基本性质”小结：名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据【典例剖析】例1判断下列说法是否正确，并说明理由(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都可以表示平面；(3)平面ABCD的面积为10 cm2；(4)空间图形中，后引的辅助线都是虚线思路分析：由题目可获取以下主要信息：此题中(1)(2)考查平面的概念及其表示法，：(3)是说平面的度量问题，：(4)是平面的画法解答本题可先考虑平面的性质及其画法，然后依次解决解：(1)(3)(4)错，(2)正确因为平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线，目的是为了增加立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也如此，这与平面几何是有区别的有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形如矩形、圆、正多边形等表示平面，但绝不能说它是平面提示：深刻理解平面的性质及相关概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决此类问题的关键平面是无限延展的，无大小，无厚薄，是一种理想化的图形，但平面图形都是有大小之分的对立体几何中图形的画法与平面几何中图形的画法要加以区别 变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A,B,Al,Bl;(2)a,b,ac,bc=P,=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面平面=l，直线AB，ABl，EAB，直线EF=F，Fl;（2）平面平面=a，ABC的三个顶点满足条件:Aa，B，Ba，C，Ca.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面，因为A、B在平面内，根据公理1，直线a在平面内,同理直线b在平面内，即平面是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14直线a直线b=A,直线a和直线b确定平面设为，即a,b.B、Ca，E、Fb,B、C、E、F.而B、Fc，C、Ed,c、d,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.例3如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且.求证：三条直线EF、GH、AC交于一点证明：E、H分别是AB、AD的中点，由中位线定理知，EH綊BD.又在CBD中，FGBD，且FGBD.由公理4知，EHFG，且EH<FG.四边形EFGH是梯形，EH、FG为
