高等数学(同济大学版)_课程讲解_1.1映射与函数

. 课时授课计划课次序号： 01 一、课题：1.1 映射与函数二、课型：新授课三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；5.会建立简单实际问题的函数关系式四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合六、参考资料：1.高等数学释疑解难，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.高等数学教与学参考，张宏志主编，西北工业大学出版社七、作业：习题11 3（1），6（4）（7），9（1）八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：第一章 函数与极限第一节 映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.一、集合1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集组成集合的事物称为该集合的元素例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等通常我们用大写的英文字母A，B，C，表示集合；用小写的英文字母a，b，c，表示集合的元素若a是集合A的元素，则称a属于A，记作aA；否则称a不属于A，记作aA（或aA）含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程+1=0的实根组成的集合是空集集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内例如，所有正整数组成的集合可以表示为N=1，2，n，另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作A =xx具有性质p（x）例如，正整数集N也可表示成N=nn =1，2，3，；又如 A=（x，y）+ =1，x，y为实数表示xOy平面单位圆周上点的集合2. 集合的运算设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A B（或B A）；若A B，且有元素ab，但a A，则说A是B的真子集，记作A B对任何集A，规定A若A B，且BA，则称集A与B相等，记作A=B由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作AB，即AB=xxA或xB由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作AB，即AB=xxA且xB由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作AB，即AB=xxA但x B如图1-1所示阴影部分图1-1在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集X中的任何集A关于X的差集XA称为A的补集（或余集），记作 集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：（1）交换律AB=BA，AB=BA；（2）结合律（AB）C=A（BC），（AB）C=A（BC）；（3）分配律（AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC）；（4）幂等律AA=A，AA=A；（5）吸收律A=A，A=设Ai（i=1，2，）为一列集合，则下列法则成立：（1）若AiC（i=1，2，），则C；（2）若AiC（i=1，2，），则C设X为基本集，Ai（i=1，2，）为一列集合，则= ， = 3. 区间与邻域（1） 区间设a和b都是实数，将满足不等式axb的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）即（a，b）=xaxb，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a （a，b）且b （a，b）类似地，称数集a，b=xaxb为闭区间，a和b也称为闭区间a，b的端点，这里aa，b且ba，b称数集a，b）=xaxb和（a，b=xaxb为半开半闭区间以上这些区间都称为有限区间 数ba称为区间的长度 此外还有无限区间：（-，+）=x-x+=R，（-，b=x-xb，（-，b）=x-xb，a，+）=xax+，（a，+）=xax+，等等这里记号“-”与“+”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”（2） 邻域设x0是一个给定的实数，是某一正数，称数集 xx0-xx0+为点x0的邻域，记作U（x0，）称点x0为这邻域的中心，为这邻域的半径（如图1-2）图1-2称U（x0，）-x0为x0的去心邻域，记作(x0,)=x0x-x0,记( x0-,)=xx0-xx0, (x0+,)=xx0xx0+,它们分别称为x0的去心左邻域和去心右邻域当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），(x0)分别表示x0的某邻域和x0的某去心邻域。二、映射1映射的定义 定义1 设A，B是两个非空的集合，若对A中的每个元素x，按照某种确定的法则f，在B中有惟一的一个元素y与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f：AB， 称y为x在映射f下的像，x称为y在映射f下的原像 集合A称为映射f的定义域，A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，记作Rf 或f（A），即Rf = f (A)=yy=f(x),xA定义中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A）B映射概念中的两个基本要素是定义域和对应法则定义域表示映射存在的范围，对应法则是映射的具体表现例1 设A表示某高校大学一年级学生所构成的集合，用一种方法给每一个学生编一个学号，B表示该校一年级学生学号的集合，f表示编号方法，于是确定了从A到B的一个映射fAB例2 设A=1，2，n，B=2，4，2n，令 f(x)=2x，xA， 则f是一个从A到B的映射例3 设A=0，1，B=（x，y）y=x，xA，如图1-3所示令fx（x，x），xA，则f是一个从A到B的映射 图1-3设有映射fAB，若B = f（A）=f（x）xA，则称f是满射若f将A中不同的元素映射到B中的像也不同，即若x1，x2A且x1x2，则f（x1） f(x2),则称f是单射若f既是满射又是单射，则称f是从A到B的一一映射若A与B之间存在一一映射，则称A与B是一一对应的上面的例1，例2与例3的两个集合都是一一对应的 2. 复合映射定义2 设有映射gAB，fBC，于是对xA有xu = g（x）y = f（u）= fg（x）C这样，对每个xA，经过uB，有惟一的yC与之对应，因此，又产生了一个从A到C的新映射，记作AC，即（）（x）=fg（x），xA，称为f与g的复合映射,如图1-4所示图1-43. 逆映射定义3 设有映射fAB，B=f（A），若存在一个映射gBA，对每个yB，通过g，有惟一的xA与之对应，且满足关系f（x）=y，则称g是f的逆映射，记作g=f -1 若映射f：AB是一一映射，则f必存在一个从B到A的逆映射f -1三、函数1. 函数的概念定义4 设A，B是两个实数集，将从A到B的映射f：AB称为函数，记作y = f（x），其中x称为自变量，y称为因变量，f（x）表示函数f在x处的函数值，A称为函数f的定义域，记作；f（A）=yy=f（x），xAB称为函数f的值域，记作通常函数是指对应法则f，但习惯上用“y =f（x），xA”表示函数，此时应理解为“由对应关系y=f（x）所确定的函数f ”从几何上看，在平面直角坐标系中，点集（x，y）y=f（x），x称为函数y=f（x）的图像（如图1-5所示）函数y=f（x）的图像通常是一条曲线，y=f（x）也称为这条曲线的方程这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨图1-5例 求函数y=+的定义域解 要使数学式子有意义，x必须满足 即 由此有1x2， 因此函数的定义域为（1，2有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数下面给出一些今后常用的分段函数例 绝对值函数 y=x= 的定义域=（-，+），值域=0，+，如图1-6所示例 符号函数 y=sgnx=的定义域=（-，+），值域=-1，0，1，如图17所示 图1-6 图1-7例 取整函数y=x，其中x表示不超过x的最大整数例如，-=-1，0=0，=1，=3等等函数y=x的定义域=（-，+），值域=整数一般地，y =x= n，nxn+1，n=0，1,2,如图1-8所示 图1-82. 复合函数与反函数(1)复合函数定义5 设函数的定义域为，值域为；而函数的定义域为，值域为，则对任意，通过有惟一的与对应，再通过又有惟一的与对应这样，对任意，通过，有惟一的与之对应因此是的函数，称这个函数为与的复合函数，记作，称为中间变量两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形例如，y=x=（a0且a1）可看成由指数函数y = au与u=logax复合而成 例 设f（x）=（x-1）,求f（f（f（x）解 令，则y=f（f（f（x）是通过两个中间变量w和u复合而成的复合函数，因为=，x-；=,x-，所以 f（f（f（x）=，x-1,- ,-（2）反函数定义6 设A，B为实数集，映射f：AB的逆映射f -1称为y=f（x）的反函数即：若对每个yB，有惟一的xA，使y=f（x），则称x也是y的函数，记作f -1，即x=f -1（y），并称它为函数y=f（x）的反函数，而y=f（x）也称为反函数x=f -1（y）的直接函数从几何上看，函数y=f（x）与其反函数x=f -1（y）有同一图像但人们习惯上用x表示自变量，y表示因变量，因此反函数x=f -1（y）常改写成y=f -1（x）今后，我们称y=f -1（x）为y=f（x）的反函数此时，由于对应关系f -1未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y=f -1（x）与直接函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称，如图 1 - 9所示 图1 - 9