江西省南康中学2020届高三上学期第五次月考数学（理）试题（解析版）

南康中学2020届高三第五次大考数 学（理科）试 卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)1.已知集合，则（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】先求得集合A中绝对值不等式的解集，再求的集合B中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合A，或，对于集合B，由于，所以.所以.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象，考查绝对值不等式的解法等知识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即的解是，的解是或.在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如本题中集合B，研究对象是函数的值域.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为，所以选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.3.设，则的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（ ）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】先根据角的终边经过的点，求得的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点，故，故，.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查复合函数求值以及分段函数求值，属于基础题.5.已知函数，则下列结论不正确的是（ ）A. 最大值为2B. 最小正周期为C. 把函数的图象向右平移个单位长度就得到的图像D. 单调递增区间是，【答案】C【解析】将函数转化为形式，然后根据三角函数的图像与性质对选项逐一进行判断，从而得出正确选项.【详解】依题意，所以函数的最大值为，A选项正确；函数的最小正周期为，故B选项正确. 函数的图象向右平移个单位长度得到，故C选项错误.由，解得函数的递增区间为，故D选项正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查利用辅助角公式化简三角函数解析式为，考查三角函数的图像与性质，包括最值、最小正周期，单调区间以及图像变换等知识，属于基础题.对于三角函数含有多个正弦、余弦符号的，需要利用辅助角公式、和差角公式、二倍角公式等，将其化简为一个角的形式，这样才能够去研究它的图像与性质.6.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则点到该抛物线的准线的距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】先求得双曲线的焦点，由此可得抛物线的焦点坐标，进而求得的值，根据抛物线的定义求得到准线的距离.【详解】双曲线的右焦点为，故，故抛物线的准线为，点的横坐标为，故到准线的距离为.故选D.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查抛物线的方程的求解，考查抛物线的定义，属于基础题.7.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为315尺，前九个节气日影长之和为855尺，则芒种日影长为（ ）A. 15尺B. 25尺C. 35尺D. 45尺【答案】B【解析】由等差数列的性质可得，可得，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列，其前项和，则，所以，由题知，所以，所以公差，所以，故选B.【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】画出图像，得到该几何体是由两个四棱锥构成，利用锥体体积公式计算得几何体的体积.【详解】画出图像如下图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形，且边长为，故底面积为；四棱锥的高为，故四棱锥的体积为.则几何体的体积为.故选B.【点睛】本小题考查空间几何体的结构，考查锥体的体积计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9.椭圆（）的中心点在原点，分别为左、右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，是椭圆上一点，且轴，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示,把x=c代入椭圆标准方程：.则,解得. 取,又A(0,b),B(a,0),F2(c,0)，.PF2AB,，化为：b=2c. 4c2=b2=a2c2,即a2=5c2, .本题选择D选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】作OA于点A，于点B，可得，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA于点A，于点B，与圆相切，又点M在双曲线上， 整理，得，双曲线的渐近线方程为 故选A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.11.函数的定义域为，且其中，为常数，若对任意，都有，则函数的图象可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】条件表示函数为单调递增函数，对求导后，利用导数大于零，判断出为单调递增函数，然后对选项利用对应的函数进行判断，从而得出正确选项.【详解】因为对任意，都有，所以函数为单调递增函数，即，所以，因为，故为单调递增函数，选项A为指数型函数，不妨设，满足题意，故选A【点睛】本小题主要考查对的理解，考查导数与单调性的对应关系.是斜率的公式，根据或者可以判断出函数的单调性，前者为增函数，后者为减函数.这个条件还可以改为，或者同样也是说明单调性的.12.已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】关于对称的函数为，将问题转化为与图像有交点的问题来解决.令，将其变为两个函数，利用导数研究这两个函数的图像，由此求得的取值范围.【详解】关于对称的函数为，所以原问题等价于与图像有交点，令化简得，对于，故其在上递减，在上递增，由此画出和的图像如下图所示.要使有解，直线的斜率要介于切线的斜率和直线的斜率之间.当时，即，所以.设，故切线的方程为，将原点坐标代入得，解得，故，所以斜率的取值范围是，故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及还有这两个条件，可以想到和互为反函数，它们的图像关于对称.由此将问题转化为和图像有交点的问题来解决.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量满足，且，则与的夹角为_.【答案】【解析】将已知条件展开后化简，求得的值，利用夹角公式求得两个向量的夹角.【详解】根据得，即，故，故两个向量的夹角为.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式，考查运算求解能力，属于基础题.14.2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额级数全月应纳税所得额税率1不超过3000元的部分2超过3000元至12000元的部分3超过12000元至25000元的部分某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为_元【答案】790【解析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，可得应缴纳的个人所得税为，计算即可【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，则应缴纳的个人所得税为元故答案为790【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，属于基础题15.已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为_【答案】【解析】试题分析：由题意作出辅助图，知，所以，故P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且，所以，故的轨迹方程为考点：轨迹方程、椭圆定义16.将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_（1） 平面平面 （2）四面体的体积是（3）二面角的正切值是 （4）与平面所成角的正弦值是【答案】（3）（4）【解析】画出图像，由图像判断（1）是否正确；计算的体积来判断（2）是否正确；依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断（3），（4）是否正确.【详解】画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误.由于，故是二面角的平面角且平面，故.过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高.在原图中，,，所以，故（2）错误.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.,，设平面的法向量为，则，令，则,即.平面的法向量是.设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，则其正切值为.故（3）判断正确.平面的法向量为，设直线和平面所成的角为，则，故（4）判断正确.综上所述，正确的有（3），（4）.【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查空间面面垂直的判断，考查锥体体积计算，考查二面角的计算以及线面角的计算，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，已知点在边上，且，（1）若，求的值；（2）若，求边上的中线的长【答案】(1) ;（2）.【解析】（1）利用诱导公式求得的值，然后在中利用正弦定理求得的值.（2）由的值求得的值.利用两边平方后根据向量数量积的运算，求得的长.【详解】(1) （2） 又，所以【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查利用正弦定理解三角形，还考查了向量的线性运算以及数量积的运算，属于中档题.18.已知数列中，其前项和满足.（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和