【全国百强校】2020届四模——理科数学试题（解析版）

东北师大附中2020届高三第四次模拟考试理科数学试题一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合B，之后根据子集的定义可以判断出，根据交集中元素的特征求得，根据并集中元素的特征，可以求得，从而求得结果.详解：由可以求得，从而求得，所以，故选B.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合间的关系以及集合的交并运算，属于简单题目.2.已知，为虚数单位，若为实数，则的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】：首先利用复数的运算法则，求得，再结合复数对应实部和虚部满足什么样的条件，从而对其进行分类的标准，得到a所满足的等量关系式，求得结果.详解：，若该复数是实数，只需，解得，故选A.点睛：该题考查的是复数的有关问题，在解题的过程中，需要先将题中所给的复数利用其运算法则将其化简，之后利用复数的分类对实虚部的要求找出其满足的等量关系式，之后求解即可. 3.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）A. 15B. 16C. 18D. 21【答案】C【解析】首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.4.已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】， 故选B.点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和，比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小.5.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】首先根据题中所给三视图，将几何体还原，得到该几何体是由一个长方体切割而成的，从而能够确定该几何体的各个顶点都在同一个长方体的顶点处，所以该几何体的外接球即为其对应的长方体的外接球，借助于长方体的对角线就是其外接球的直径，利用公式求得结果.详解：根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的对角线就是其外接球的直径，所以有，从而求得其表面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的的问题，关键是需要利用三视图还原几何体，再者就是应用长方体的对角线就是其外接球的直径，之后利用相应的公式求得结果即可.6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为A. B. C. D. 【答案】A【解析】运行程序：S=0,k=1;S=1,k=2;S=3,k=4;S=7,k=8;S=15,k=16,此时退出循环，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A. 至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是C. 第三季度平均收入为万元D. 利润最高的月份是月份【答案】D【解析】由图可知至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同，故正确；由图可知，支出最高值是，支出最低值是，则支出最高值与支出最低值的比是，故正确；由图可知，第三季度平均收入为，故正确；由图可知，利润最高的月份是月份和月份，故错误.故选D.8.淮北一中艺术节对摄影类A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）.A. A作品B. B作品C. C作品D. D作品【答案】B【解析】根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品B为一等奖；故选B9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若,则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】首先利用题的条件，写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，需要联立方程组，消元化成关于x的方程，利用韦达定理求得两根和，之后结合抛物线的定义，得到过于p的等量关系式，进而求得抛物线的准线方程.详解：根据题意，设直线的方程为，与抛物线联立，可得，整理可得，从而有，根据，结合抛物线的定义可知，所以，所以抛物线的准线方程为，即，故选A.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，在解题的过程中，利用直线过的点以及直线的倾斜角，利用点斜式写出直线的方程，之后与抛物线联立，求得两根和，之后借助于抛物线的定义，转化得出p所满足的等量关系式，最后求得题中所要的结果.10.若函数 满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：，根据题中条件满足 且的最小值为，所以有，所以，从而有，令，整理得，从而求得函数的单调递增区间为，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.11.已知双曲线在左，右焦点分别为，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于，两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】首先将双曲线的焦距设出，之后借助于正三角形的特征，求得对应线段的长，从而进一步求得点A的坐标，利用点在双曲线的渐近线上，得到点的坐标所满足的关系式，从而确定的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小.详解：设，设与x轴相较于M点，根据正三角形的性质，可以求得，从而求得，所以有，故选A.点睛：该题考查的是有关双曲线的性质的问题，在解题的过程中，注意找渐近线上的点的坐标，也可以利用等边三角形的性质，可以确定出渐近线的倾斜角，从而求得的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小，这样更省时间.12.已知函数，若对区间内任意实数，都有则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】首先对题中的条件进行分析，任意实数，都有 ，让不等号的左边尽量小，右边尽量大，相当于，之后的任务就是求函数在区间内的最大最小值，利用导数分析函数的单调性，从而求得函数的最值，代入求得参数的取值范围.详解：根据题意，题中条件可以转化为，当时，恒成立，所以在区间上是增函数，即，即，解得，当时，恒成立，所以在区间上是减函数，即，即，解得，当时，函数在上单调增，在上单调减，所以有，即，解得，综上，故选C.点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合题，最关键的一步就是对题中条件的转化，归纳出结论至关重要，之后就是利用导数研究函数的单调性，从而求得相应的最值，从而求得结果.二、填空题: 本题共4 小题，每小题5分，共20 分.13.二项式展开式中的常数项为_【答案】【解析】由题额意得，二项式的展开式的通项为，令，所以，所以展开式的常数项为14.若x，y满足约束条件，则取值范围是_【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再结合目标函数中z的几何意义，从而可以确定出目标函数在哪个点处取得最小值，之后由于可行域是开放区域，向上动的过程中，目标函数在逐渐的增大，能到正无穷，从而求得最后的结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出对应的可行域，其为直线的上方，直线的上方，y轴的右侧的开放区域，且直线与直线交于点A，由得，由的几何意义可知该目标函数在点A处取得最小值，往上平移可到，由解得，所以的取值范围是.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，正确画出可行域是非常关键的，并且是一个开放的区域，这就决定了其没有最大值，并且会到正无穷，一定要分析清楚在哪个点处取得最小值，要明确对应的点是哪两条直线的交点，从而求得结果.15.已知向量与的夹角为，且，若，且则实数的值为_【答案】【解析】，()()22(1)0，即94(1)320，解得.点睛：平面向量数量积类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【此处有视频，请去附件查看】16.已知在数列中，则数列的通项公式为_【答案】【解析】首先将题中的条件加以整理，求得，分析差式，可以利用累加法求得，整理可得，注意对递推公式的变形.详解：根据，可得，应用累加法可以求得当时，当时，上式成立，故，从而可以求得.点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题，在解题的过程中，注意对题中的递推公式的变形，从而求得，之后利用累加法求得，整理可得，再用累加法求解的时候，一定要注意对的验证. 三、解答题: 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小:(2)若点为的中点，且,求的值的值【答案】（1）；（2）【解析】第一问利用正弦定理将题中的条件 转化为 ，从而求得，结合三角形内角的取值范围，求得，第二问利用余弦定理，得到 ，将代入上式，整理得到，结合正弦定理求得.详解：（1）在中，由正弦定理得 ，则，（2）在中，由余弦定