【全国百强校】2020届四模——理科数学试题（原卷版）

东北师大附中2020届高三第四次模拟考试理科数学一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2.已知，为虚数单位，若为实数，则的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 13.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）A. 15B. 16C. 18D. 214.已知，则A. B. C D. 5.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为A. B. C. D. 7.某商场一年中各月份收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A. 至月份收入的变化率与至月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是C. 第三季度平均收入为万元D. 利润最高的月份是月份8.淮北一中艺术节对摄影类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）.A A作品B. B作品C. C作品D. D作品9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若,则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 10.若函数 满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 11.已知双曲线在左，右焦点分别为，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于，两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 12.已知函数，若对区间内的任意实数，都有则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题: 本题共4 小题，每小题5分，共20 分.13.二项式展开式中的常数项为_14.若x，y满足约束条件，则的取值范围是_15.已知向量与的夹角为，且，若，且则实数的值为_16.已知在数列中，则数列的通项公式为_三、解答题: 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角大小:(2)若点为的中点，且,求的值的值18.如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将 分别沿折起，使两点重合于点,如图2. 图1 图2(1)求证:平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，且将纤维长度超过315mm的棉花定为一级棉花设计了如下茎叶图：（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）；（2）从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率（3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望20.已知椭圆 的焦点坐标分別为,为椭圆上一点，满足且(1) 求椭圆的标准方程:(2) 设直线与椭圆交于两点，点，若，求的取值范围.21.已知函数，曲线在点处的切线方程为求a，b的值；证明：22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），与交于两点.（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若成等差数列，求的值.23.已知定义在上的函数.存在实数使成立，(1) 求实数的值:(2)若，且求证，求证