高中数学人教版A版选修1-1学案：2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）

2.1.2椭圆的简单几何性质(二)学习目标1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.知识点一点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部<1；点P在椭圆外部>1.知识点二直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解>0相切一解0相离无解<0知识点三弦长公式设直线方程为ykxm(k0)，椭圆方程为1(a>b>0)或1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|，|AB|，或|AB|.其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得.题型一直线与椭圆的位置关系例1在椭圆1上求一点P，使它到直线l：3x2y160的距离最短，并求出最短距离.解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为yxm，代入1，并整理得4x23mxm270，9m216(m27)0m216m4，故两切线方程为yx4和yx4，显然yx4距l最近，d，切点为P.反思与感悟本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交>0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.跟踪训练1已知椭圆x28y28，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy40的距离最短，并求出最短距离.解设与直线xy40平行且与椭圆相切的直线为xya0，联立方程得9y22aya280，4a236(a28)0，解得a3或a3，与直线l距离较近的切线方程为xy30，最小距离为d.由得即P(，).题型二直线与椭圆的相交弦问题例2已知点P(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，求直线l的方程.解由题意可设直线l的方程为y2k(x4)，而椭圆的方程可以化为x24y2360.将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360.所以x1x28，所以k.所以直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.反思与感悟研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练2设F1，F2分别是椭圆E：1 (a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率.解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k>0，且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak>0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形.从而ca，所以椭圆E的离心率e.题型三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练3如图，点A是椭圆C：1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BPx轴，9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.解直线AB的斜率为1，BAP45，即BAP是等腰直角三角形，|.9，|cos45|2cos459，|3.(1)P(0,1)，|1，|2，即b2，且B(3,1).B在椭圆上，1，得a212，椭圆C的标准方程为1.(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)，t3b，即b3t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：1，解得a2.a2>b2>0，>(3t)2>0.>1，即1>0，所求t的取值范围是0<t<.求解椭圆中弦所在的直线方程例4已知椭圆1，过点P(2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程.分析注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.解方法一由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为yk(x2)1.由消去y并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，所以x1x2.因为点P为弦AB的中点，所以2，解得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二设所求直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点P为弦AB的中点，所以x1x24，y1y22.又因为A，B在椭圆上，所以x4y16，x4y16.两式相减，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以，即kAB.故所求直线的方程为y1(x2)，即x2y40.方法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y).因为弦中点为P(2,1)，所以另一个交点为B(4x,2y).因为点A，B在椭圆上，所以x24y216，(4x)24(2y)216，从而A，B在方程所形成的图形上，即在直线x2y40上.又因为过A，B的直线只有1条，故所求直线的方程为x2y40.解后反思解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数.1.直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A.m>1B.m>1且m3C.m>3D.m>0且m3答案B解析由(3m)x24mxm0，>0，m>1或m<0.又m>0且m3，m>1且m3.2.已知椭圆的方程为2x23y2m(m>0)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析将方程化为标准形式1，因为m>0，所以a2，b2，所以c2a2b2，所以e.3.椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆周长为，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1y2|的值为()A.B.C.D.答案A解析易知ABF2的内切圆的半径r，根据椭圆的性质结合ABF2的特点，可得ABF2的面积Slr2c|y1y2|，其中l为ABF2的周长，且l4a，代入数据解得|y1y2|.4.椭圆x24y236的弦被点A(4,2)平分，则此弦所在的直线方程为()A.x2y0B.x2y40C.2x3y140D.x2y80答案D解析设以点A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于点E(x1，y1)，F(x2，y2)，点A(4,2)为EF中点，x1x28，y1y24，把E(x1，y1)，F(x2，y2)分别代入椭圆x24y236中，得则得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，8(x1x2)16(y1y2)0，k，以点A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y2(x4)，整理得，x2y80.5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_.答案0<e<解析设点M(x，y)，0，点M的轨迹方程是x2y2c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.由题意知，椭圆上的点P总在圆外，|OP|>c恒成立，由椭圆性质知|OP|b，b>c，a2>2c2，()2<，0<e<.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解.