高中数学人教版A版必修五学案：&amp#167;2.4　等比数列（二）

学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法知识点一推广的等比数列的通项公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则ana1qn1，anamqnm(m，nN*)思考1如何推导anamqnm?答案根据等比数列的通项公式，ana1qn1，ama1qm1，qnm，anamqnm.思考2若已知等比数列an中，q3，a33，则a7_答案243解析a7a3q433435243.知识点二等比数列的性质1如果mnkl，则有amanakal2如果mn2k，则有amana3若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列4在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列5如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.6等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.思考在等比数列an中，_，a5a11_答案a7a解析由等比数列的性质得a5a11a.a3a9a5a7，a7.题型一等比数列的性质及应用例1(1)在等比数列an中，若a3a69，a2a4a527，则a2的值为()A2 B3C4 D9(2)已知公比为q的等比数列an中，a5a9q，则a6(a22a6a10)的值为_答案(1)B(2)解析(1)因为an为等比数列，所以a3a6a4a59，又因为a2a4a527，所以a23.(2)a5a9q，a4a8，a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a.反思与感悟在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果跟踪训练1(1)在等比数列an中，a7a116，a4a145，则等于()A. B.C.或 D或(2)已知数列an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5_答案(1)C(2)5解析(1)a7a11a4a146，又a4a145，或，q10或，q10或.(2)由a2a42a3a5a4a625，即a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.题型二灵活设项求解等比数列例2已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为，则此4个数为_答案8，2，或，2，8解析设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q61，aq(1q)，所以a2q31，当a2q31时，q0，代入式化简可得q2q10，此方程无解；当a2q31时，q0，代入式化简可得q2q10，解得q4或q.当q4时，a；当q时，a8.所以这4个数为8，2，或，2，8.反思与感悟灵活设项求解等比数列的技巧(1)三数成等比数列，一般可设为，a，aq；(2)四数成等比数列，一般可设为，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3，但前一种设法的公比为q2(0)；(3)五数成等比数列，一般可设为，a，aq，aq2.跟踪训练2有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积为80，求出这四个数解由题意设此四个数为，b，bq，a，则有解得或所以这四个数为1，2，4，10或，2，5，8.题型三等比数列的实际应用例3为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 20.3，最后结果精确到整数)解设该地区总面积为1，2014年底绿化面积为a1，经过n年后绿洲面积为an1，设2014年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn1，则a1b11，anbn1.依题意，an1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%bn，所以an192%an12%(1an)an，即an1(an)，a1，是以为首项，为公比的等比数列，an()()n1，an()n1，则an1，an150%，nlog 3.则当n4时，不等式恒成立所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.反思与感悟本题从实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立、时间的推算，不要在运算中出现问题跟踪训练32015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%.(1)问哪一年两林场木材的总存量相等？(2)问两林场木材的总量到2019年能否翻一番？解(1)由题意可得16a(125%)n125a(120%)n1，解得n2，故到2017年两林场木材的总存量相等(2)令n5，则a516a25a2(16a25a)，故到2019年不能翻一番1在正项等比数列an中，an1<an，a2a86，a4a65，则等于()A. B.C. D.答案D解析设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1<an知0<q<1，由a2a86，得a6.a5，a4a6q5.解得q，.2在等比数列an中，a24，a7，则a3a6a4a5的值是()A1 B2C. D.答案C解析a3a6a4a5a2a74，a3a6a4a5.3在正项等比数列an中，3a1，a3，2a2成等差数列，则等于()A3或1 B9或1C1 D9答案D解析由3a1，a3，2a2成等差数列可得a33a12a2，即a1q23a12a1q，a10，q22q30.解得q3或q1(舍)q29.4已知数列：4，a，12，b中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b等于()A20 B18C16 D14答案B解析由题意可得2a41216a8，又1228bb18.5在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为_答案8解析设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2ac84，因为a2b0，b2(舍负)所以这3个数的积为abc428. 1.等比数列的性质及其应用一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点很重要2等比数列各项之间可由公比建立关系，在求三、四个数的等比数列问题中，灵活设项解决等比数列的问题