高中数学人教B版选修1-2学案：2.2.2 反证法

22.2反证法学习目标1了解反证法是间接证明的一种基本方法2理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识链接1有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对2反证法主要适用于什么情形？答要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形预习导引1反证法由证明pq转向证明qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的方法，叫做反证法2反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与假设矛盾，与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，与公认的简单事实矛盾要点一用反证法证明“至多”“至少”型命题例1已知x，y>0，且xy>2.求证：，中至少有一个小于2.证明假设，都不小于2，即2，2.x，y>0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2与已知xy>2矛盾，中至少有一个小于2.规律方法对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误跟踪演练1已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明假设a，b，c，d都是非负数，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.这与已知acbd>1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数要点二用反证法证明不存在、唯一性命题例2求证对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线yax(a为常数)对称证明假设存在实数k，使得A、B关于直线yax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：ykx1与直线yax垂直；(2)点A、B在直线l：ykx1上；(3)线段AB的中点在直线yax上，所以由得(3k2)x22kx20.当k23时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意当k23时，由、得a(x1x2)k(x1x2)2由知x1x2，代入整理得：ak3，这与矛盾所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线yax对称规律方法证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便跟踪演练2求证方程2x3有且只有一个根证明2x3，xlog23，这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的：假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则2b13,2b23，两式相除得2b1b21.若b1b2>0，则2b1b2>1，这与2b1b21相矛盾若b1b2<0，则2b1b2<1，这也与2b1b21相矛盾b1b20，则b1b2.这与b1b2矛盾，假设不成立，从而原命题得证要点三用反证法证明否定性命题例3等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解设公差为d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，这与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列规律方法(1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法跟踪演练3已知f(x)ax(a>1)，证明方程f(x)0没有负数根证明假设x0是f(x)0的负数根，则x0<0且x01且ax0，由0<ax0<10<<1，解得<x0<2，这与x0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根.1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角答案B2用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()A有一个内角小于60 B每一个内角都小于60C有一个内角大于60 D每一个内角都大于60答案B3“a<b”的反面应是()Aab Ba>bCab Dab或a>b答案D4用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da与b相交答案D5已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数设a2n1(nZ)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶数1反证法证明的基本步骤：(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的(结论)2用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.