精编制作2 二重积分的计算方法PPT课件

第二节 二重积分的计算法 一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结 按定义 二重积分是一个特定乘积和式极限 然而 用定义来计算二重积分 一般情况 下是非常麻烦的 那么 有没有简便的计算方法呢 这就是我 们今天所要研究的课题 下面介绍 一 问题的提出 二 利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有 关 为此 先介绍 1 积分域 D 如果积分区域为 X 型 X型区域的特点 a 平行于y轴且穿过区域的直线 与区域边界的交点不多于两个 b 1 X 型域 2 Y 型域 Y 型 Y型区域的特点 a 穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界的交点不多于两个 b 2 X 型域下二重积分的 计算 由几何意义 若 此为平行截面面积为已知的立体的体积 截面为曲 边梯形面积为 曲顶柱体的体积 则 y Z 注 若 x y 0 仍然适用 注意 1 上式说明 二重积分可化为二次定 积分计算 2 积分次序 X 型域 先Y后X 3 积分限确定法 域中一线插 内限定上下 域边两线夹 外限依靠它 为方便 上式也常记为 3 Y 型域下二重积分的计算 同理 Y 型域下 于是 1 积分次序 Y 型域 先x后 Y 2 积分限确定法 域中一线插 须用平行于X轴的射线 穿插区域 注意 注意 二重积分转化为二次定积分时 关键 在于正确确定积分限 一定要做到熟练 准确 4 利用直系计算二重积分的步骤 1 画出积分区域的图形 求出边界曲线交点坐标 3 确定积分限 化为二次定积分 2 根据积分域类型 确定积分次序 4 计算两次定积分 即可得出结果 解 X 型 Y 型 例2 解 X 型 例3 解 如图 将D作Y型 1 2 5 若区域为组 合域 如图则 0 6 如果积分区域既是X 型 又是 Y 型 则有 解 积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 解 原式 例6 解 先去掉绝对值符号 如图 解 二重积分在直角坐标下的计算公式 在积分中要正确选择 积分次序 Y 型 X 型 7 小结 三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单 或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时 我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题 1 直系与极系下的二重积分关系 如图 1 面积元素变换为极系下 2 二重积分转换公式 3 注意 将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行 三换 2 极系下的二重积分化为二次积分 用两条过极点的射线夹平面区域 由两射线的倾角得到其上下限 任意作过极点的半射线与平面区域相交 由穿进点 穿出点的极径得到其上下限 将直系下的二重积分化为极系后 极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算 1 区域如图1 具体地 如图 图1 2 区域如图2 图2 3 区域如图3 图3 4 区域如图4 图4 解 解 解 解 在极系下 如图 o 2a D 解 计算二重积分应该注意以下几点 先要考虑积分区域的形状 看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程 表示简单 其次要看被积函数的特点 看使用极 坐标后函数表达式能否简化并易于积分 首先 选择坐标系 其次 化二重积分为二次积分 根据区域形状和 类型确定积分次序 从而穿线确定内限 夹线确 定外限 最后 计算二次积分 由内向外逐层计算 内层 积分计算时 外层积分变量看做常量 四 小结