高职公共课线性代数 线性代数4

“第四章相似矩阵及二次型国2东e尽医d伟4.1向量的内积和可量组的正交单位化4.1.1向量的内积4.1.2向量组的正交单位化4.1.1向量的内积定义1设有2个n维向量00。.=:Q0,Q令(Q,B)=albl+a2b2+"+anbn则(a,B)称为向量a与B的内积息【内积是向量的一种运算,如果用矩阵记号表示,向量的内积还可写成英1n内积满足下列运算规律(其中暮量,为实数):(D(Ca,B)=(B,a)(2)(XAa,B)=X(a,B)(3)(a+B,Y)=(a,Y)+(B,Y)顺|埕国国(a:厌二aTB二(alasa0)B,Y为n维向定义2设a=(ad,a)=a21+a22+.+a2n,称a|为n维向量a的长度(或范数).当a=1时,称a为单位向量.对于任何非零向量a,1aa称为向量a的单位化.向量的长度具有下述性质:(非负性.当a一0时,a|二0,当a=0时,a=0|闻园圆(2)齐次性,xa=Xa|(3)三角不等式:a+B如a|+B定义3当(aq,B)=0时,称向量q与正交.一伟4例如向量a二是正交的.一史9与向量8二5串国国定义4若非零向量组a1,Q2,8中的任意2个向量都是正交的,则称这个向量组为正交向量组.例如,n维单位向量52,.,8n是正交向定理_若n维向量a,aa,as是组,则a,aa,as线性无关.证明_用反证法,假设有s个不l,X2,s,使得入1Q1+入2a2+.“十入sds=(0正交向量全为零的以aTi左乘上式两端,得XiaTiai=0ai关0,故aTiai=ai2兰0,从而Xi=0(i=l,2,s),与假设相矛盾,于是向组a,aa,as线性无关.|间园圆_4.1.2向量组的正交单位化线性无关的向量组cl,az,.,c8不一定是单位向量Yiya.,Ys与al,062,正交向量组,不过总可以找一组两两正交的,0等价,称为将向量组al,oz,.,os正交单位化.下面介绍将线性无关的向量组al,o2,.,os正交单位化的施密特(Schmidt)过程.设acl,oa,.,s线性无关,首先取Bt=ot再取Bs=oa2z+AB1(其中A待定),(Ba,B1)=(o2+ABlB1)=(o2,B1)+A(BuRB1)=0固国回得)二一e.p)(朋,月s-佳类似地,再取口二s十A口十(其中A,待定),由(B,所)一0及(朋,月)二(aa,口)十(朋,朋)十(育,月)二0(朋殴)二(ms殴)十21(,朋)十(氓,历)一0得山二一(印),一一(朋朋)