概率与数理统计第二章

第一讲 授课题目 第二章 随机变量及其分布§1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律 教学目的与要求1、深刻理解随机变量的意义，熟练掌握用随机变量表示随机试验的结果；2、离散型随机变量的分布律及其表示；3、熟记两点分布、二项分布、泊松分布的分布律或密度函数及性质。 教学方法：发现式为主，讲授式为辅，讲练案结合 教学重点与难点重点：掌握离散型随机变量及其分布律，如何用分布律求任何事件的概率。难点：随机变量的概念及离散型随机变量的分布。 讲授内容：一、 引言在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.二、§1 随机变量1、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.例 1 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 、反面 出现情况的试验中, 其样本空间HT;, THS记每次试验出现正面 的总次数为随机变量 , 则 作为样本空间 上的函数定义为XS011223Xe例 2 在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢 1 元钱 , 出现反面时输 1 元钱, 则其样本空间为正面, 反面,S记赢钱数为随机变量 , 则 作为样本空间 的实值函数定义为XS.,1,)(反 面正 面e例 3 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是 中任何一个实数, 若用)0表示灯泡的寿命（小时） ，则 是定义在样本空间 上的函数，即 ，是随机XX|tStX)(变量.2、随机变量的定义定义 设随机试验的样本空间为 , 是定义在样本空间 上的实值单值函数，称=eeXS为随机变量.)(eX随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值 ;(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率 .如例 1 中易见, 使 取值为 的样本点构成的子集为)2(X,THA故 ,8/3)2PX类似地，有 .2/1,1P3、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.三、 §2 离散型随机变量及其分布律1、离散型随机变量及其概率分布有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。定义 设离散型随机变量 的所有可能取值为 , 取各个可能值得概率，即事件X)21(kxX称 的概率，为kxX（2.1）,kpxPk由概率的定义， 满足如下两个条件：kp1） ； 2） （分布列的性质）)1(0，k 1kp称（2.1）式为离散型随机变量为 的概率分布或分布律, 也称概率函数.X常用表格形式来表示 的概率分布: ni ppxx21例 1 设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过，以 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的） ，求 的分X X布律。例 2（加）：有一批产品共 40 件，其中有 3 件次品. 从中随机抽取 5 件，以 表示取到次品的件数，求XX 的分布列. 解：随机变量 X 可能取到的值为 0，1，2，3，按古典概率计算事件 (k=0,1,2,3)的概率，得k的概率分布为X .321054037， kCkXpk或X 0 1 2 3p 0.6624 0.3011 0.0354 0.00112、常用离散分布退化分布 两点分布 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布n泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.一个随机变量 X 以概率 1 取某一常数 ，即 ，则称 X 服从点 a 处的退化分布（一点分a1aXp布） 。3、常见的分布(1)两点（0-1）分布 设随机变量 值可能取 0 与 1 两个值，它的分布律是， 0，1kkpXp1)()=-PAp则称 服以 为参数的（01）分布或两点分布，简记为 分布.0,X:（01）分布的分布律也可写成X 0 1 kp1- p其中 ，则称 服从两点分布，亦称 服从（01）分布，简记为 分布.01PXX0,1X:(2)伯努利试验、二项分布 伯努里试验：设实验 E 只有两个可能结果： ,则称 E 为伯努里试验。A及n 重伯努里试验:设 此时 ，将 E 独立重复的进行 n 次，则()=01PAp()=-01Pp称这一串重复的独立实验为 n 重伯努里试验。设 X 表示 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数，则 X 所有可能的取值为 0，1，n，且相应的概率为， 0，1，n.knknknqpCpCp)1( )(pk称 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记作 易验证 ),(B0(),()1nknnPXCpq显然，当 =1 时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.两点分布、二项分布的关系及应用：例 2 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查 20 只，问 20 只元件中恰有 只 为一级品的概率是多少?k)20,.1(解：略例 3 某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.02.独立射击 400 次，试求至少几种两次的概率.解：略例 4 设有 80 台同类型设备，各太工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由 4 人维护，没人负责 20 台；其二是由 3 人共同维护 80 台，试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。解：略例 1（加）：假设某篮球运动员投篮命中率为 0.8， 表示他投篮一次命中的次数，求 的概率分布. XX解：投篮一次只有“不中”和“命中”两个结果，命中次数 只可能取 0、1 两个值，且概率分别为 =0.8 ， Xp 2.08110pXp也可表示为X 0 1p 0.2 0.8例 2（ 加 ） ： 甲 、 乙 两 名 棋 手 约 定 进 行 10 盘 比 赛 ， 以 赢 的 盘 数 较 多 者 为 胜 . 假 设 每 盘 棋 甲 赢 的 概 率 都 为 0.6， 乙 赢 的概 率 为 0.4， 且 各 盘 比 赛 相 互 独 立 ， 问 甲 、 乙 获 胜 的 概 率 各 为 多 少 ？ 甲 平 均 赢 得 的 盘 数 是 多 少 ？解：每一盘棋可看作一次贝努里试验. 设 X 为甲赢的盘数，则 ，即)6.0,1(BX,04.6)(1010kCkpk按约定，甲只要赢 6 盘或 6 盘以上即可获胜. 所以甲获胜 = 631.).(10106kkkX若 乙 获 胜 ， 则 甲 赢 棋 的 盘 数 ， 即4. p乙 获 胜 2)4.(10401kkkC事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相当的可能. 容易算出：. 510Xp不 分 胜 负 27)4.(65由于 60npE甲 平 均 赢 得 的 盘 数 为 6 盘 .例 3（加）：某厂需从外地购买 12 只集成电路. 已知该型号集成电路的不合格率为 0.1，问至少需要购买几只才能以 99%的把握保证其中合格的集成电路不少于 12 只？解：设需要购买 n 只，X 表示这 n 只集成电路中合格品个数，则 ，按题意，要求事件)9.0,(nBX“ ”的概率不小于 0.99，即12X12p9.0)1.(901knkknC可算出至少需要购买 17 只集成电路，才能以 99%的把握保证其中合格品不少于 12 只. （三） （补充）几何分布 设 是一个无穷次贝努里试验序列中事件 首次发生时所需的试验次数，且可能的值为 而取XA1,2.各个值的概率为11()(,2.kkPpq其中 ，则称 服从几何分布.记为 .易验证01,pq(,)Xgkp11()0,2kkX(四) 泊松分布设随机变量 所有可能取的值为 0，1，2， ，而取各个值的概率为X(),!keP其中 是常数，则称 服从参数为 的泊松分布，记为 .易验证 0X()X00(1),1,2;2!kkPe定理（泊松定理）设 是一个常数， 是任意正整数，设 ，则对于任一固定的非负nnp整数 ，有lim1,01,2!knknnpe 证明略泊松定理的应用：在实际应用中，当 n 比较大，p 较小，而 不太大时，可直接利用以下近似公式：pn， 其中 ekpCnkn!)1( (iii)泊松定理的计算：例 5 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达 0.1%，各芯片称为次品相互独立，求在1000 只产品中至少有 2 只次品的概率，以 及产品中的次品数， 。X10,.Xb:例 5（加）：在 500 个人组成的团体中，恰有 5 个人的生日是元旦的概率是多少？解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是 ，则该团体中生日为元旦的人数361，恰有 5 个人的生日是元旦的概率为)361,50(BX 50550)361()CXp其中 ，满足泊松定理条件，可以用 的泊松分布来近似计算：369.1505np， 9.01.!5)369.1(369.1eXp 小结：本节课介绍随机变量，掌握离散型随机变量的几个常见分布； 课外作业：P55. 1,2.3第二讲 授课题目 §3 随机变量的分布函数 教学目的与要求1、理解随机变量分布函数的概念及性质，会利用概率分布计算有关事件的概率。 教学重点与难点重点：离散型随机变量分布函数的计算。难点：一维随机变量的分布函数 讲授内容：一、 引言当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.二、 随机变量的分布函数定义 设 是一个随机变量, 是任意实数，函数Xx)()() xXPF称为 的分布函数.有时记作 或 .分布函数的性质1. 单调非减