山西省阳泉市2020届高三上学期期末考试 数学（理）

山西省阳泉市20192020学年度第一学期期末考试试题高三理科数学第卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则的值是A. B. C. D.2.若复数满足，则的值是A. B. C. D.3.若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是A. B. C. D.4.随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：公里）剩余续航里程（单位：公里）2020年1月1日50000.1253802020年1月2日51000.126246（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A. 等于 B.到之间 C.等于 D.大于5.已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是A. B. C. D.6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的的值是A. B. C. D.7.函数在的图像大致为 A B C D 8.在中，,是线段上一点，且则是A. B. C. D.8.在中，,是边上一点，则是A. B. C. D.9.记为等差数列的前项和.已知则A. B. C. D.10.设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且,的面积是7，则是A. B. C. D.11.如图，在直角梯形中，,过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是平面与平面所成的角等于与平面所成的角与所成的角等于与所成的角A. B. C. D.12.已知，若不等式在上有解，则实数的取值范围是A. B. C. D.第II卷（非选择题共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则_.14.若展开式中的系数为30，则_.15.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若，则_16.已知数列满足,数列的前项和，则数列的前n项和_三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且.(1)求;(2)若，且边上的中线长为，求的面积.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为等边三角形且垂直于底面， 是的中点.（1）在棱上取一点使直线平面并证明；（2）在（1）的条件下，当棱上存在一点，使得直线与底面所成角为 时，求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别是，离心率，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.（1） 求椭圆的方程.（2） 过焦点的直线与圆相切于点，交椭圆于两点，证明：.20.（本小题满分12分）某市创卫办为了了解该市开展创卫活动的成效，对市民进行了一次创卫满意程度测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”计5分，“不合格”计0分，现随机抽取部分市民的回答问卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分频数624（1） 求的值；（2） 按照分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的问卷中随机抽取10份进行问题跟踪调研，现再从这10份问卷中任选4份，记所选4份问卷的量化总分为，求的分布列及数学期望.（3） 某评估机构以指标来评估该市创卫活动的成效.若,则认定创卫活动是有效的；否则认为创卫活动无效，应该调整创卫活动方案.在（2）的条件下，判断该市是否应该调整创卫活动方案？21（本小题满分12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，若且有两个零点，求的取值范围请考生在第22，23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.满分10分.选修44：坐标系与参数方程22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的平面直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，均异于原点，且，求的值.23.（本小题满分10分）已知的最小值为t.（1）求t的值；（2）若实数a，b满足，求的最小值.山西省阳泉市20192020学年度第一学期期末考试高三理科数学参考答案与评分标准一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分， 题号123456789101112答案BCCDBCADBADA二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13.e14. 1 15.6 16.三、解答题（本大题共6小题，共70分，）17.(1)由已知可得,所以1在中，2所以.因为在中，,3所以,4因为,5所以.6（2）由（1）得，又边上的中线长为，所以，7所以，即，所以，8由余弦定理得，所以，9由得：，10所以.1218.（1）在上取中点，在上取中点,连接，由于平行且等于，平行且等于，所以平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以.2直线，3所以平面.4（2）取中点，连接，由于为正三角形又平面平面，平面平面平面，连接，四边形为正方形。平面，平面平面而平面平面过作，垂足为，平面为与平面所成角，6在中，设，在中，8以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系，9设平面的法向量为，法向量可取，10而平面的法向量为11设二面角的平面角为.1219（1）由椭圆性质知，1，2解得3所以椭圆的方程为.4（2）证明：由（1）可得的斜率存在，故的方程可设为.因为直线与圆相切，所以圆心到的距离，解得.6当时，直线的方程为由联立，可得，显然，设，则.所以8设，由可得，又，所以.由此可得线段中点重合，故.10同理当时也有.11综上.1220.（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的市民答卷数为：，又由频率分布直方图可知，得分在的频率为，所以，1又，所以.2.3（2）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人.所以有共种可能的取值.的分布列为20151050，.所以.9（3）由（2）可得10所以，11故我们认为该市的创卫活动是有效的，不需要调整创卫活动方案.1221（1）的定义域为，1对于，当时，则在上是增函数.2当时，对于，有，则在上是增函数.3当时，令，得或，令，得，所以在，上是增函数，在上是减函数.4综上，当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数.（2）由已知可得，因为，所以，而，所以，所以，所以在上单调递增.所以.6故在内有两个零点.7令，定义域为，当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不合题意.8当时，令得，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减，9所以，时，取得极大值，也是最大值，为.10时，若有两个零点，则，解得.所以的取值范围是.12另解：有两根，显然不是方程的根，因此原方程可化为，设，由解得，由解得，故在上单调递减，在上单调递增.所以，所以，所以.22.【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为.由，得，又，所以的直角坐标方程为.5分（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为.设点，的极坐标