用二元一次方程组确定函数表达式

北师大版八年级教材 5 7用二元一次方程组确定一次函数表达式 1 理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点 2 掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 3 进一步理解方程与函数的联系 体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化 教学目标 一次函数与二元一次方程可以相互转化 从形式到内容它们都是统一的 二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应 图象法解二元一次方程组 1 写函数 2 作图象 3 找交点 4 写出解 例 用图象法解方程组 解 由 得 由 得 作出图象 观察图象得 交点 3 2 方程组的解为 利用图象法解方程组 解 由 得 作出图象 观察图象得 交点 0 1 方程组的解为 y 2x 4 y x 1 练习 一次函数与二元一次方程 组 的关系 重点 例1 如图2 已知函数y ax b和y kx的图象交于点P 则根据图象可得 关于x y的二元一次方程组 的解是 图2 归纳 一般地 每个二元一次方程组都对应两个 于是也对应两条 从 数 的角度看 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等 以及这个函数值是何值 从 形 的角度看 解方程组相当于确定两 条直线 的坐标 2 活用方程组 解决函数问题二元一次方程组和一次函数的关系相当密切 灵活应用它们 数 和 形 的亲密合作关系 有助于我们解题 一次函数 直线 交点 1 已知二元一次方程x y 3与3x y 5有一组公共解 x 2y 1 那么一次函数y 3 x与y 3x 5的图象的交点坐标为 B A 1 2 C 1 2 B 2 1 D 2 1 2 小亮用作图象的方法解二元一次方程组时 在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1 l2如图4 他解的这个 方程组是 D 图4 点拨 由图象知 l1 l2的x的系数都应为负数 排除A C 又l1 l2的交点为 2 2 代入验证可知只有D符合 如图 直线的交点坐标是 跟踪训练 答案 二元一次方程组与一次函数有何联系 二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标 反之 两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解 二元一次方程组有哪些解法 正因如此 方程问题可以通过函数知识来解决 反之 函数问题也可以通过方程知识来解决 例题 A B两地相距100千米 甲 乙两人骑自行车分别从A B两地相向而行 假设他们都保持匀速行驶 则他们各自到A地的距离s 千米 都是骑车时间t 时 的一次函数 1小时后乙距A地80千米 2小时后甲距A地30千米 问 经过多长时间两人相遇 用一元一次方程的方法可以解决问题 例题 A B两地相距100千米 甲 乙两人骑自行车分别从A B两地相向而行 假设他们都保持匀速行驶 则他们各自到A地的距离s 千米 都是骑车时间t 时 的一次函数 1小时后乙距A地80千米 2小时后甲距A地30千米 问 经过多长时间两人相遇 用作图象的方法可以直观地获得问题的结果 但有时却难以准确 甲 t 0时 s 0 t 2时 s 30 乙 t 0时 s 100 t 1时 s 80 例题 A B两地相距100千米 甲 乙两人骑自行车分别从A B两地相向而行 假设他们都保持匀速行驶 则他们各自到A地的距离s 千米 都是骑车时间t 时 的一次函数 1小时后乙距A地80千米 2小时后甲距A地30千米 问 经过多长时间两人相遇 用方程组的方法可以解决问题 用作图象的方法可以直观地获得问题的结果 但有时却难以准确 为了获得准确的结果 我们一般用代数方法 在以上的解题过程中你受到什么启发 例2某长途汽车客运站规定 乘客可以免费携带一定质量的行李 但超过该质量则需购买行李票 且行李费y 元 是行李质量x kg 的一次函数 现知李明带了60kg的行李 交了行李费5元 张华带了90kg的行李 交了行李费10元 1 写出y与x之间的函数表达式 2 旅客最多可免费携带多少千克的行李 2 当x 30时 y 0 即旅客最多可免费带30kg的行李 已知函数y 2x b的图象经过点 a 7 和 2 a 求这个函数表达式 在弹性限度内 弹簧的长度y cm 是所挂物体质量x kg 的一次函数 当所挂物体的质量为1kg时 弹簧长15厘米 当所挂物体的质量为3kg时 弹簧长16cm 写出y与x之间的关系式 并求出所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度 确定关系式的方法 像这样 先设出函数关系式 再根据所给条件确定表达式中未知数的系数 从而得到函数表达式的方法 叫做待定系数法 例2 某长途汽车客运站规定 乘客可以免费携带一定质量的行李 但超过该质量则需购买行李票 且行李费y 元 是行李质量x kg 的一次函数 现知李明带了60kg的行李 交了行李费5元 张华带了90kg的行李 交了行李费10元 1 写出y与x之间的函数表达式 2 旅客最多可免费携带多少kg的行李 例题 解析 1 设此一次函数表达式为 y kx b k 0 根据题意 可得方程组 解得 2 当x 30时 y 0 所以旅客最多可免费携带30kg的行李 1 某市自来水公司为鼓励居民节约用水 采取按月用水量分段收费办法 若某户居民应交水费y 元 与用水量x t 的函数关系如图所示 O y 元 x t 15 20 27 39 跟踪训练 2 若某用户十月份用水量为10t 则应交水费多少元 若该用户十一月份交了51元的水费 则他该月用水多少吨 1 分别写出当0 x 15和x 15时 y与x的函数关系式 解析 1 当0 x 15时 设y kx 根据题意 可得方程27 15k 解得 当x 15时 设y mx n 根据题意 可得方程组 解得 2 当x 10时 10 15 代入 中可得y 18 当y 51时 51 27 代入 中可得x 25 A 4B 5C 6D 7 C 1 9 求两条直线y 3x 2与y 2x 4和 轴所围成的三角形的面积 答案 答案 2 3 x y 0 5 镇江 中考 两直线 的交点坐标为 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 D 6 咸宁 中考 如图 直线l1 y x 1与直线l2 y mx n相交于点P a 2 则x 1 mx n的x取值范围为 答案 x 1 7 梧州 中考 直线y 2x b与x轴的交点坐标是 2 0 则关于x的方程2x b 0的解是x 答案 2 8 如图中的两直线l1 l2的交点坐标可以看作方程组 的解 1 二元一次方程组除了可以利用代入法和加减法进行消元求解外 还可以利用图象法得到它的近似解 3 体现了数学的数形结合思想 2 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤 a 用含字母的系数设出一次函数的表达式 b 将已知条件代入上述表达式中得k b的二元一次方程组 c 解这个二元一次方程组得k b 进而得到一次函数的表达式 O y 元 x t 15 20 27 39 某市自来水公司为鼓励居民节约用水 采取按月用水量分段收费办法 若某户居民应交水费y 元 与用水量x t 的函数关系如图所示 1 分别写出当0 x 15和x 15时 y与x的函数关系式 2 若某用户十月份用水量为10t 则应交水费多少元 若该用户十一月份交了51元的水费 则他该月用水多少吨