2019年高考数学（理）第三章 专题2导数在不等式、恒成立及存在性问题中的应用

专题2导数在不等式、恒成立及存在性问题中的应用刷难关1设实数A>0，若对任意的X(0，+)，不等式恒成立，则的最小值为（ ）A BC D2已知对任意实数k>1，若关于x的不等式k（x-a）>在(0，+)上恒成立，则a的最大整数值为（ ）A0 B-1C-2 D-33设函数(x)=(2x -1) -ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x，使得(x)<0，则a的取值范围是（ ）A BC D4函数(x)的导函数为f（x），若XR恒有f（x）<(x)成立，且（2）=1，则不等式(x)>ex-2的解集为（ ）A(-,1) B(1,+)C(2,+) D(-,2)5若函数(x)是奇函数(x)(xR)的导函数，当x>0时，Inx（x）<-（x），则使得(x-1)(x)>0成立的x的取值范围是（ ）A（-1，0）(0，1)B（-，-1）(1，+)C（-1，0）(1，+)D（-，-1）(0，1)6安徽合肥2018调研已知函数，若有且仅有一个整数k，使(k-(k)>0，则实数a的取值范围是_7河北武邑中学2018期中已知函数(x)=lnx，g（x）= （b为常数）(1)函数(x)的图像在点(1，(1)处的切线与函数g（x）的图像相切，求实数b的值；(2)若函数h（x）=(x)+g(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围;(3)若b2，x，X1，2，且xx，都有(x)-(x)>g(x) -g（x）成立，求实数b的取值范围8河南郑州2018 一模已知函数(x)=Inx-a(x+1)，aR在（1,(1)）处的切线与x轴平行(1)求(x)的单调区间；(2)若存在x>1，当x（1，x）时，恒有（x）-+2x+>k（x-1）成立，求k的取值范围9安徽合肥2018调研已知函数(1)判断函数(x)的单调性；(2)求证：ln（x+1）x+ln(x+1)10.广东惠州2018调研已知函数(x)= - (x -a) +3，aR(1)若函数(x)的图像在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若x0 (x)0恒成立，求a的取值范围11.西藏拉萨2018 一模设函数(x)=Inx，g(x)=ax+-c(a,b,cR).(1)当c=0时，若函数(x)与g（x）的图像在x=1处有相同的切线，求a，b的值；(2)当b=3 -a时，若对任意x(1，+)和任意a(0，3)，总存在不相等的正实数x，x，使得g（x）=g(x)=(x)，求c的最小值；(3)当a=1时，设函数y=(x)与y=g（x）的图像交于A(x，y)，B（X，Y）（x<X）两点求证：xx -x <b <xx -x12.河南濮阳2018 一模已知函数(x)=xInx- mx -x(xR)(1)若函数(x)在(0，+)上是减函数，求实数m的取值范围；(2)若函数(x)在(0，+)上存在两个极值点x，X且x<X，证明：ln x +lnX>2专题2导数在不等式、恒成立及存在性问题中的应用刷难关1A【解析】由得设，因为函数的图像与函数的图像关于直线y=x对称，所以函数。（或）的图像与直线y=x相切时，的值是不等式恒成立时的A的最小值，设函数的图像与直线y = x相切时的切点为( x,y)，易得，解得故选A。2B【解析】令(x>0)，依题意，对任意k>1，当x>0时，y= f(x)的图像在直线y=k(x-a)的下方，又，列表如下：x（0,1）1（1,+)f(x)+0-f(x)y=f(x)的大致图像如图所示：则当a>0时，显然均不成立；当a=0时，f(0)=2当1<k<2时不成立；当a= -1时，设y=k(x+1)与y= f(x)相切于点(x，f(x)则，解得,，故成立当aZ时，故选B3D【解析】设，y= ax -a由题意知，存在唯一的整数x，使得g(x)在直线y=ax -a的下方，因为g(x)=(2x+1)，所以当时，g (x)<0，当时，g(x)>0，所以当时，g(0)=-1，g(1)=e>0，g（-1）=-3e，直线y=ax -a恒过(1，0)，且斜率为a，如图，故-a>g(0)= -1，且g（-1）=-3e-a-a，解得故选D4D【解析】设函数，则g(x)在R上单调递减，不等式可转化为，x<2,X（-，2）故选D5D【解析】设g(x) =In xf(x)(x>0)，则g(x)= In xf(x)+f(x)In xf（x）<，g(x)<0在(0，+)上恒成立g(x)在（0，+）上是减函数 g(1) =ln 1f(1) =0，当x(0，1)时，g(x)>0又在(0，1)上In x<0，f(x)<0,(X-1)f(x)>0;当x(1，+)时，g(x)<0，In x >0，f(x)<0,(X-1)f(x)<0.f(x)是奇函数，当x（-1，0）时,f(x)>0，(x -1)f(x) <0;当X（-，-1）时,f(x)>0，（X-1）f(x)>0综上所述，使得(x-1)f(x)>0成立的x的取值范围是（-，-1）(0，1)故选D6 【解析】因为，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数k使得f(k)>1或f(k)<0”，因为，所以当0<x<e时，f(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f(x) <0,函数f(x)单调递减，即函数在X=e处取最大值，由于2<e<3，因此由题设可知解得。7【解】(1)因为f(x)=lnx，所以，因此f(1)=1，所以函数f(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程为y=x-1，由得X -2(b+1)x+2=0由题得=4 (b+1) -8 =0，得b=-1.(2)因为h(x)=f(x)+g(x)=lnx+x-bx(x>0)，所以.由题意知h(x)<0在(0，+)上有解因为x>0，所以x-bx+1<0在(0，+)上有解，设u(x) =X -bx+1，因为u(0)=1>0，则只要，解得b>2，所以，实数b的取值范围是(2，+)(3)不妨设X >X因为函数f(x)=ln x在区间1，2上是增函数，所以f(x)> f(x)，因为函数g(x)的图像的对称轴为直线x=b，且b2所以函数g(x)在区间1，2上是减函数，所以g(x)<g(x)，所以f(x）- f(x)>g(x) -g(x)，等价于f( x) -f( x)>g(x) -g(x)，即f(x)+g(x)>f(x)+g(x)，等价于h(x)=f(x)+ g(x)= In x+x -bx在区问1，2上是增函数，所以在区间1，2上恒成立，所以在区间1，2上恒成立，所以b2又因为b2，所以b=28【解】(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，+) ,，a=1，令f(x)>0，得0<x <1；令f(x)<0，得x>1f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+)(2)不等式可化为令，x>1，则.x>1，令，h(x)的对称轴为，当，即k-1时，易知h(x)在(1，x)上单调递减，h（x）<h(1) =1 -k，若k1，则h(x)0g(x)0，g(x)在(1，x)上单调递减，g(x)<g(1)=0，不符合题意，若-1k<1，则h(1)>0必存在x使得XE(1，x)时g(x)>0，g(x)在(1，x)上单调递增，g(x)>g(1)=0恒成立，符合题意，当，即k< -1时，易知必存在x使得h(x)在(1，x)上单调递增h(x)>h(1) =1 -k>0，g(x)>0，g(x)在(1，x)上单调递增g(x)>g(1)=0恒成立，符合题意，综上，k的取值范围是（-，1）9(1)【解】由题知f(x)的定义域为xlx0，.设g(x)=（x-1） +1，x0，则g(x)=x，令g (x)<0，得x <0；令g(x)>0，得x>0g(x)在（-，0）上是减函数，在(0，+)上是增函数，g(x)>g(0)=0.f(x)>0.f(x)在（-，0）和(0，+)上都是增函数(2)【证明】设h(x) =x-ln(x+1)，x>-1，则由h(x)=0，得x =0，h(x)在（-1，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数，h(x)h(0)=0，即xln(x+1).当x>0时，xln(x+1)>0f(x）在(0，+ )上是增函数，f(x)f(ln(x+1)，即( -1)ln(x+1)x.当-1 <x <0时，0>xIn（x+1）f(x)在（-，0）上是增函数，f(x)f(ln(x+1)，即，( -1) In（x+1）x当x =0时，( -1)ln(x+1) =X =0由可知，对一切x> -1，有（-1）h(x +1)X，即In(x+1)x+ln(x+1).10【解】(1)由题知f(x)=2（-x+a）函数f(x)的图像在x=0处的切线与x轴平行，即在x=0处的切线的斜率为0，f(0)=2(n+1)=0,a= -1.(2)由(1)知f(x)=2（ -x+a），令h(x)=2(-x +a)(x0)，则h(x)=2(-1)0,h(x)在0，+）上单调递增，且h(0)=2(a+1)当a-1时,f(x)0在0，+）上恒成立，即甬数f(x)在0，+)上单调递增，解得，又a-1-1a当a< -1时，则存在x >0，使h(x) =0且当X0，x）时，h(x)<0，即，f(x)<0，则f(x)单调递减，当x x，+）时，h(x)>0，即f(x)>0，即f(x)单调递增，.又,，解得 0< xIn3由，得，令M(x)=x-，0<xIn 3，则M(x) =1 -<0，M(x)在(0，In 3上单调递减，则M(x)M(ln 3) =ln 3 -3,M(x) <M(0)=-1,In 3 -3a<-1.综上，In 3 -3a.故。的取值范围是ln 3 -3，11(1)【解】由f(x)=hx，得f(1)=0又，所以f(1)=1当c=0时，g(x) =ax+，所以，所以g(1)=a-b因为函数f(x)与g(x)的图像在x=1处有相同的切线，所以即解得(2)【解