2016上海市中考数学压轴题解题策略：相切的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 相切的存在性问题解题策略 专题攻略一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示第二步列方程，就是根据直线与圆相切时dR列方程例题解析例 如图1-1，已知抛物线yx21与x轴相交于A、B两点（1）有一半径为r的P，且圆心P在抛物线上运动，当P与两坐标轴都相切时，求半径r的值；（2）半径为1的P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，P与y轴相离、相交？ 图1-1 【解析】（1）如果P与两坐标轴都相切，那么圆心P到两坐标轴的距离相等画直线yx和yx，四个圆心P就都找到了，如图1-2，图1-3其实求半径r，只需一个图就可以了，P的半径为r|x|或（2）要判断P与y轴相离、相交，先找到临界位置P与y轴相切，此时x1或x1如图1-4，可以想象，当圆心P在x轴下方时，P与y轴相交，此时1yP0；当圆心P在x轴上方时，P与y轴相离，此时yP0图1-2 图1-3 图1-4例 如图2-1，ABC中，BCAC5，AB8，CD为AB边上的高如图2-1，A在原点处，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动ABC在平面上滑动如图2-2，设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值图2-1 图2-2【解析】这道题讲一下画图策略，答案就在图形中（1）如图2-3，画x轴，取点A；作CAx轴，且CA5；以CA为半径画C，以A为圆心，8为半径画弧，产生点B如图2-4，过点B画y轴在RtAOB中，已知AB和1，求得OAt4.8（2）如图2-5，先画y轴和点B，产生点A后再画x轴求得OAt6.4图2-3 图2-4 图2-5例 如图3-1，A(5,0)，B(3,0)，C(0, 3)，四边形OADC是矩形点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t的值 图3-1【解析】我们先根据“dr”讲解题策略如图3-2，动点P到切线BC的所有垂线段中，哪条等于半径PC？此时P(3, 0)，t1如图3-3，动点P到切线DC的所有垂线段中，半径PC是哪条？此时P(0, 0)，t4如图3-4，动点P到切线AD的距离就是PA，PA与半径PC相等，点P在AC的垂直平分线上，此时在RtPCO中，由勾股定理解得AP3.6，所以QP5.4，t5.4.图3-2 图3-3 图3-4我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图形中如图3-5，经过切点C画切线BC的垂线，与x轴的交点就是P(3, 0)如图3-6，经过切点C画切线DC的垂线，与x轴的交点就是P(0, 0)如图3-7，已知圆上两点A和C，画AC的垂直平分线，与x轴的交点就是P图3-5 图3-6 图3-7例 如图4-1，已知抛物线ymx2bxc(m0)经过A(1, 0)、B(3,0)两点，顶点为P，与y轴交于点DC的直径为A、B，当m为何值时，直线PD与C相切？图4-1【解析】由ym(x1)(x3)，可得D(0,3m)，P(1,4m)C的半径为2，切线PD随m变化如图4-2，先假设切点为E，那么CPEPDF由sinCPEsinPDF，得解方程，得所以当时，直线PD与C相切事实上，此时直线PD与C相切于点D，PCD30（如图4-3）图4-2 图4-3例 如图5-1，在梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AB8，BC18，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为秒如果P的半径为6，Q的半径为4，在移动的过程中，试探索：为何值时P与Q外离、外切、相交？图5-1【解析】对于P，R6；对于Q，r4圆心距dPQ怎么表示呢？如图5-2，PQ2QH2PH282(125t)2当两圆外切时，由dRr10，得d2102解方程82(125t)2102，得t1.2（如图5-3），或t3.6（如图5-4）现在，我们想象两圆的运动过程，从外离到外切、相交，再到外切，外离，然后写出结论：当0t1.2和3.6t6时，两圆外离；当1.2t3.2时，两圆相交图5-2 图5-3 图5-4例 如图6-1，RtABC中，ACB90，AC4厘米，BC3厘米，O为ABC的内切圆（1）求O的半径；（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆设点P运动的时间为t秒，若P与O相切，求t的值图6-1【解析】如图6-2，O的半径r1（厘米）对于O，r1；对于P，Rt；圆心距dOP在RtPOH中解决（如图6-3）由OP2OH2PH212(2t)2，得dOP当P与O外切时，由dRr，得解得（如图6-4）当P与O内切时，由d|Rr|，得解得t2（如图6-5）图6-2 图6-3 图6-4 图6-5例 如图7-1，已知直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，O的半径为1，点C是y轴正半轴上的一点，如果C既与O相切，也与直线l相切，求圆心C的坐标图7-1【解析】先确定C与直线l相切，再解方程C与O相切如图7-2，过点C作CDAB，垂足为D设BC5m，半径CD3m对于O，r1；对于C，R3m；圆心距dOCOBBC45m当两圆外切时，Rrd解方程3m145m，得此时（如图7-3）当两圆内切时，Rrd解方程3m145m，得此时（如图7-4）图7-2 图7-3 图7-4例 如图8-1，已知在等腰ABC中，ABAC5，BC6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE交AB于点E，BDEA，以点D为圆心，DC的长为半径作D设BDx（1）当D与边AB相切时，求x的值； （2）如果E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，当D与E相切时，求x的值 图8-1【解析】如图8-2，ABAC和BDEA，隐含了ABCDBE，DBDEx（1）如图8-3，当D与边AB相切时，dr，解DHDC就可以了解方程，得（2）对于D，RDC6x；对于E，rAEABBE；圆心距dDEDBx当两圆外切时，由dRr，得解得（如图8-4）当两圆内切时，由dRr，得解得（如图8-5）图8-2 图8-3 图8-4 图8-5例 如图9-1，一个RtDEF的直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB12，DE4，DF3如图9-2，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP的中点同时RtDEF沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当点D运动到点A时，两个运动都停止在运动过程中，是否存在以点Q为圆心的圆与RtDEF的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间t，若不存在，说明理由图9-1 图9-2【解析】这道题目我们讲画图的策略注意到AQBDt如图9-3，画CAMCAB；在射线AM上取一点D，过点D作AM的垂线；画直角的平分线产生点Q；在点D右侧截取DBAQ作QHAM于H，以QH为半径的Q符合题意由QHDH，得解得t5过点D画直角的平分线还有图9-4的情形，此时DH解方程，得t10从上面的过程我们可以体验到，画图与点P无关，与DEF无关我们去伪存真，A的大小确定，以D为顶点构造直角，作直角的平分线产生点Q，截取得到点B就可以了图9-4 图9-5