THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月诊断性测试理科数学试卷（含答案）

中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 理科数学试卷 一卷 理科数学试卷 一卷 本试卷共本试卷共 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 若集合 12Axx 2 0 1 2B 则AB A B 0 1 C 0 1 2 D 2 0 1 2 2 若 2 5i z 则z的虚部为 A 1 B 1 C i D i 3 已知双曲线 22 2 10 2 xy b b 的两条渐近线互相垂直 则b A 1 B 2 C 3 D 2 4 由两个 1 4 圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 3 B 2 C D 2 5 函数 x exxxf 2 2 的图象可能是 A B C D 6 已知关于x的不等式 2 230axxa 在 0 2 上有解 则实数a的取值范围是 A 3 3 B 4 7 C 3 3 D 4 7 7 已知a b为实数 则01ba 是loglog ab ba 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 俯视图 侧视图 正视图 1 1 2 2 第 4 题图 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知随机变量 的分布列如下表所示 则 A EEDD B EEDD C EEDD D EEDD 9 在ABC 中 若2AB BCBC CACA AB 则 AB BC A 1 B 2 2 C 3 2 D 6 2 10 在矩形ABCD中 已知3 4ABAD E是边BC上的点 1EC EFCD 将平面EFDC绕EF旋转 90后记为平面 直线AB绕AE旋转一周 则旋转过程中直线AB与平面相 交形成的点的轨迹是 A 圆 B 双曲线 C 椭圆 D 抛物线 第 10 题图 11 已知函数 ln1 2 1 2 i f xxxm i e是自然对数的底数 存在Rm A 当1 i时 f x零点个数可能有 3 个 B 当1 i时 f x零点个数可能有 4 个 C 当2 i时 f x零点个数可能有 3 个 D 当2 i时 f x零点个数可能有 4 个 12 已知数列 n a的前n项和为 n S 且满足 2 1 nnn aSa 则下列结论中 数列 2 n S是等差数列 2 n an 1 1 nn a a A 仅有 正确 B 仅有 正确 C 仅有 正确 D 均正确 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 1742 年 6 月 7 日 哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出 任一大于 2 的偶数都可写成两个质 数的和 这就是著名的 哥德巴赫猜想 可简记为 1 1 1966 年 我国数学家陈景润证明了 1 2 3 1 2 3 1 6 1 2 1 3 P 1 3 1 2 1 6 P 1 2 获得了该研究的世界最优成果 若在不超过 30 的所有质数中 随机选取两个不同的数 则两数之和不超过 30 的概率是 14 已知ABC 的面积等于1 若1BC 则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时 sin A 15 已知F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的一个焦点 P是C上的任意一点 则FP称为椭圆C 的焦半径 设C的左顶点与上顶点分别为AB 若存在以A为圆心 FP为半径长的圆经过点 B 则椭圆C的离心率的最小值为 16 设函数 32 6 f xxxaxb 若对任意的实数a和b 总存在 3 0 0 x 使得 mxf 0 则实数m的最大值为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第 题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分 分 17 12 分 已知角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的非负半轴重合 终边经过点 1 3 P 1 求cos 2 的值 2 求函数 22 sin cos Rf xxxx 的最小正周期与单调 递增区间 18 12 分 如图 多面体ABCDFE中 四边形ABEF和四边形CDFE是 两个全等的菱形 2 AB 60 ECDBAF 1 求证 DCBD 2 如果二面角BEFD 的平面角为 60 求直线BD与平面BCE所 成角的正弦值 第 18 题图 19 12 分 已知等比数列 n a的公比1 q 且42 531 aaa 9 3 a是 1 a 5 a的等差中项 数列 n b的通项公式 11 2 1 nn n n aa b Nn 1 求数列 n a的通项公式 2 证明 12 1 21 n n bbb Nn 20 12 分 已知抛物线 2 2 0 C xpy p 焦点为F 准线与 y 轴交于点 E 若点 P 在 C 上 横 坐标为 2 且满足 PFPE2 1 求抛物线C的方程 2 若直线PE交x轴于点Q 过点Q做直线l 与抛物线C有 两个交点 M N 其中 点M在第一象限 若QMMN 当 2 1 时 求 OMP ONP S S 的取值范围 第 20 题图 21 12 分 已知函数 1 1 x f xxe 1 求 f x在点1 1 f 处的切线方程 2 若方程 f xb 有两个实数根 21 x x 且 21 xx 证明 113 1 1 12 e eb e eb xx 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 作答时请写清题号 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 作答时请写清题号 22 选修 4 4 极坐标与参数方程 10 分 1 以极坐标系Ox的极点O为原点 极轴x为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy 并在两种 坐标系中取相同的长度单位 把极坐标方程2cossin 2 化成直角坐标方程 2 在直角坐标系xOy中 直线l 3 2cos 4 3 1sin 4 xt t yt 为参数 曲线 2cos sin x C ya 为参数 其中0 a 若曲线C上所有点均在直线l的右上方 求a的取值范围 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知正数zyx 满足1xyz 1 求证 5 1 323232 222 yx z xz y zy x 2 求 2 161616 zyx 的最小值 第1页 共 8 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 理科数学 一卷 答案理科数学 一卷 答案 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C B A A C C D C D 二 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 2 3 14 8 17 15 31 2 16 2 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分 分 17 解 1 由题意得2OP 则 1 cos 2 3 sin 2 2 分 3 cos sin 22 5 分 2 22 13131 sincoscossincos2 22222 f xxxxxx 8 分 故 2 2 T 10 分 由222kxk 知单调递增区间为 2 kkkZ 12 分 第2页 共 8 页 18 解 1 如图 取的中点 连接 在菱形中 是正三角形 1 分 同理 在菱形CDFE中 可证 DGBGG 2 分 且DGBG均 在 面BDG内 平 面 BDBDG 面 4 分 又 5 分 2 由 1 知 就是二面角的平面角 即 又 所以是正三角形 故有 7 分 如图 取的中点 连接 则 又由 1 得 又因为 DGEFG DGCDEF EFCDEF 平面平面 所以 平面 且 又 在直角中 所以 9 分 设到平面的距离为 则 所以 11 分 EFGBGDG ABEF 60BAF BEF EFBG EFDG EF BDG EFBD CDEF CDBD BGD BEFD 60BGD 3BGGD BDG 3BD DGOBOBODG EFBO BO CDFE 3 2 BO BDCD BDC 7BC 173 7 74 244 BCE S DBCEh 11333 4 33242 B DCEDCE VBO S 113 73 3342 D BCEBCE Vh Sh 2 21 7 h E FD C B A G 第 18 题图 O E FD C B A G 第 18 题图 第3页 共 8 页 故直线与平面所成角正弦值为 12 分 建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分 19 解 1 由 3 9a 是 1 a 5 a的等差中项得 153 218aaa 1 分 所以 1353 31842aaaa 解得 3 8a 3 分 由 15 34aa 得 2 2 8 834q q 解得 2 4q 或 2 1 4 q 因为1q 所以2q 5 分 所以2n n a 6 分 2 法 1 由 1 可得 1 2 2121 n n nn b nN 1 111 22 2121 2121 2121 2121 nnnn n nnnnnn b 11 1 1 2 2121 2 2121 2121 21 212 nnnnnn nn nnn 9 分 21321 12 2121 2121 2121 nn n bbb 11 21 121 nn 12 分 法 2 由 1 可得 1 2 2121 n n nn b nN 我们用数学归纳法证明 1 当1n 时 1 2 3 13 13 b 不等式成立 7 分 2 假设nk kN 时不等式成立 即 BDBCE 2 7 7 h BD 第4页 共 8 页 1 12 21 k k bbb 那么 当1nk 时 1 1 121 12 2 21 2121 k k kk kk bbbb 112 1 1212 2 2121 21 2121 2121 kkk k kkkk 9 分 112 12 1 2 2121 2121 2 kkk kk k 11 分 即当1nk 时不等式也成立 根据 1 和 2 不等式 1 12 21 n n bbb 对任意 nN 成立 12 分 20 解 1 由已知可得0 2 p F 0 2 p E 2 2 P p 2PEPF 22 22 424 22 pp pp 0 2pp 抛物线 C 的方程为 2 4xy 4 分 2 由 1 得 2 10 1PE 易求得 1 0Q 5 分 由题意得 直线l的斜率存在且不为 0 可设直线l的方程为1xmy 联立方程组 2 1 4 xmy xy 整理得 22 2410 m ymy 16 160 1 mm 设点 1122 M x yN xy 1212 22 421 m yyyy mm 7分 第5页 共 8 页 12 1212 4211 42 1 yym m yyyy QMMN 1 121 2 1 y yyy y 1 2 1 2 1 2 12 3 y y 9 分 设OMP 在OP边上的高为 M h ONP 在OP边上的高为 N h OMP ONP S S 11 22 1 2 2 1 2 2 M M N N OP h xyh