高中数学人教A必修4课件：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 .ppt

1 4 三角函数的图象与性质 1 4 1 正弦函数 余弦函数的图象 正弦函数 余弦函数的图象 函数y sin xy cos x 图象 函数y sin xy cos x 图象画法五点法五点法 关键五点 0 0 0 1 1 0 2 0 2 1 点拨 1 辨析y sinx x 0 2 与y sinx x R的 图象 函数y sinx x 0 2 的图象是函数y sinx x R 的图象的一部分 因为终边相同的角有相同的三角函数值 所以函数 y sinx x 2k 2 k 1 k Z且k 0的图象与函 数y sinx x 0 2 的图象形状完全一致 因此将 y sinx x 0 2 的图象向左 向右平行移动 每次 移动2 个单位长度 就可得到函数y sinx x R的图 象 2 几何法 和 五点法 画正 余弦函数图象优缺 点 几何法 就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出 正 余弦函数图象的方法 该方法作图较精确 但较为 烦琐 五点法 是画三角函数图象的基本方法 在要求精 度不高的情况下常用此法 提醒 作图象时 函数自变量要用弧度制 自变量与函数 值均为实数 因此在x轴 y轴上可以统一单位 这样作 出的图象正规便于应用 自我检测 1 对于正弦函数y sinx的图象 下列说法错误的 是 A 向左右无限伸展 B 与y cosx的图象形状相同 只是位置不同 C 与x轴有无数个交点 D 关于y轴对称 解析 选D 观察正弦函数y sinx的图象可知 A C正 确 D错误 y sinx的图象向左平移 个单位可得y cosx 的图象 故B正确 2 函数y cosx x R图象的一条对称轴是 A x轴 B y轴 C 直线x D 直线x 解析 选B 观察y cosx x R的图象可知 直线x 0即 y轴是一条对称轴 3 请补充完整下面用 五点法 作出y sinx 0 x 2 的图象时的列表 x0 2 sinx 10 0 解析 由五点作图法知 处应该填 处应该填 0 处应该填1 答案 0 1 4 用 五点法 画出y 2sinx在 0 2 内的图象时 应 取的五个点为 解析 可结合函数y sinx的五个关键点寻找 即把 y sinx的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可 答案 0 0 0 2 0 5 函数y sinx x 0 2 的图象与直线y 的交点 有 个 解析 如图所示 答案 2 类型一 五点法 作正弦函数和余弦函数的图象 典例 1 对于余弦函数y cosx的图象 有以下三项描 述 向左向右无限延伸 与x轴有无数多个交点 与y sinx的图象形状一样 只是位置不同 其中正确的有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 2 用 五点法 画出函数y sinx x 0 2 的图 象 审题路线图 1 函数y cosx的性质 图象 与 y sinx的区别和联系 2 作y sinx的图象 y sinx的图象 五点法 解析 1 选D 如图所示为y cosx的图象 可知三项描述均正确 2 按五个关键点列表 描点 并将它们用光滑的曲线连接起来 如图 延伸探究 将本例2中 x 0 2 改为 x 如何画函数图象 解析 1 列表 2 描点 并用光滑曲线连接可得其图象 如图所示 方法技巧 用 五点法 画函数y Asinx b A 0 或 y Acosx b A 0 在 0 2 上简图的步骤 1 列表 x0 2 sinx 或cosx 0 或1 1 或0 0 或 1 1 或0 0 或1 y b 或A b A b 或b b 或 A b A b 或b b 或A b 2 描点 在平面直角坐标系中描出下列五个点 0 y1 y3 2 y5 这里的 yi i 1 2 3 4 5 值是通过函数解析式计算得到的 3 连线 用光滑的曲线将描出的五个点连接起来 不要 用线段进行连接 提醒 对于正 余弦函数的图象问题 要画出正确的正 弦曲线 余弦曲线 掌握两者的形状相同 只是在坐标 系中的位置不同 可以通过相互平移得到 拓展延伸 与正弦函数 余弦函数相关函数的图象 的画法 1 首先将函数解析式化简 然后根据图象的性质画图 要注意特殊点 如最高点及与坐标轴的交点 2 也可以根据图象变换作图 如y sin x 的图象关于y 轴对称 只要作出y sinx x 0 2 的图象 利用对称 性 可以作出y sin x x 2 2 的图象 变式训练 2018 长沙高一检测 利用正弦或余弦 函数图象作出y 的图象 解析 由于y cosx 因此只需作出 y cosx 的图象即可 而y cosx 可由y cosx将x轴下 方的图象折到x轴上方 图象如下 类型二 正 余弦函数图象的简单应用 典例 1 使不等式 2sinx 0成立的x的取值集合 是 2 2018 梅州高一检测 求y 的定义域 3 判断方程x2 cosx 0的根的个数 审题路线图 1 求解 2sinx 0 变形sinx 找出正弦曲线sinx 2 定义域 2sinx 1 0 3 求解x2 cosx 0 x2 cosx 构造函数 图象的交点 解析 1 选C 不等式可化为sinx 方法一 作图 正弦曲线及直线y 如图所示 由图知 不等式的解集为 方法二 如图所示不等式的解集为 x 2k x 2k k Z 2 2sinx 1 0得sinx 画出y sinx的图象 可知sinx 的解集 3 令f x x2 g x cosx 在同一坐标系中画出f x 与 g x 的图象 如图所示 由图知 f x 与g x 的图象有两个交点 则方程x2 cosx 0有两个根 延伸探究 1 若把本例1中不等式改为 sinx 试求x的取值 集合 解析 首先作出y sinx在 0 2 上的图象 如图所 示 作直线y 根据特殊角的正弦值 可知该直线与 y sinx x 0 2 的交点横坐标为 和 作直线y 该直线与y sinx x 0 2 的交点横 坐标为 和 观察图象可知 在 0 2 上 当 或 时 不等式 sinx 成立 所以 sinx 的解集为 x 2k x 2k 或 2k xa 或cosx a 的方法 1 作出y a y sinx 或y cosx 的图象 2 确定sinx a 或cosx a 的x值 3 确定sinx a 或cosx a 的解集 2 利用三角函数线解sinx a 或cosx a 的方法 1 找出使sinx a 或cosx a 的两个x值的终边所在的 位置 2 根据变化趋势 确定不等式的解集 补偿训练 1 求下列函数的定义域 1 f x 2 f x 解析 1 要使f x 有意义 则必须满足 2sinx 1 0 即sinx 结合正弦曲线或三角函数 线 如图所示 结合图象可知 函数f x 的定义域为 2 要使函数f x 有意义 必须使sinx cosx 0 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x为 再结合正弦 余弦函数的图象 所以函数f x 定义域为 2 若集合M N 0 2 求M N 解析 首先作出正弦函数 余弦函数在 0 2 上的 图象以及直线y 如图所示 由图象可知 在 0 2 内 当sin 时 当cos 时 所以在 0 2 内 同时满足sin 与cos 时 的取值范围是 所以M N 核心素养培优区 易错案例 利用正弦 余弦函数图象判断方程根 的个数 典例 方程sinx lgx的解有 个 1 失误案例 如图所示 y sinx与y lgx的图象有且只 有1个公共点 所以方程sinx lgx只有1个解 错解分析 分析解题过程 请找出错误之处 提示 错误的根本原因是y lgx的图象所过的特殊点找 错 y sinx的图象 分布区域找错 实际上 y lgx过点 10 1 y sinx的图象在y 1和y 1之间 自我纠正 如图所示 y sinx与y lgx的图象有3个交 点 故方程有3个解 答案 3