金融经济学课件PPT带思考题-第18讲 连续时间金融与Black-Scholes公式

第18讲连续时间金融与Black Scholes公式 18 1准备知识 正态分布与对数正态分布正态分布 中心极限定理 当一个随机变量的取值受到大量不同因素的影响 且没有一个因素起支配作用时 这个随机变量的分布就是正态分布 normaldistribution 正态分布x 2 的均值 E x 与方差 2 var x 完全描述了分布定义t x t即为标准正态分布t 0 1 标准正态分布随机变量的分布函数记为N U Pr t U 标准正态分布的密度函数以0为对称轴左右对称 2 18 1准备知识 正态分布与对数正态分布对数正态分布 为了保证资产价格总是为正 建模时我们通常假设资产价格的对数变化 logST logS0 服从正态分布随机变量ex服从对数正态分布 x服从正态分布 定义t x 如果一个随机变量X服从对数正态分布 即logX 2 那么有 3 18 2连续时间金融基础思路 资产价格每时每刻的对数变化都假设服从正态分布 需要构造出描述资产价格运动的数学模型 随机过程 布朗运动和维纳过程研究运动首先需要知道在无穷小的时间间隔内它是怎样运动的 微分需要知道这些无穷小时间间隔内的运动所产生的总效应是怎样的 积分研究描述资产价格运动的随机过程 随机微积分 stochasticcalculus 4 18 2连续时间金融基础从随机游走到布朗运动 发展历史1827年 苏格兰植物学家罗伯特 布朗 RobertBrown 发现水中花粉释放出的微小悬浮颗粒在不停地做不规则的随机运动 布朗运动 Brownianmotion 1905年 爱因斯坦 Einstein 发表论文指出 布朗运动产生于微粒周围不断做分子热运动的分子对微粒的撞击1923年 诺伯特 维纳 NorbertWiener 构建了描述布朗运动的数学模型 随机过程 维纳过程 Wienerprocess 随机游走 randomwalk 有一系列独立其同分布的随机变量 t均服从标准正态分布 即 t 0 1 有一系列随机变量 zt 满足 zt 这个随机过程就是随机游走 5 18 2连续时间金融基础从随机游走到布朗运动 布朗运动就是连续时间下的随机游走随机游走要求 是正整数布朗运动要求 是正数 不一定是正整数 定义18 1 若一个随机过程 X t t 0 满足 1 X t 是独立增量过程 2 对任意s t 0 X s t X s 0 2t 即X s t X s 是期望为0 方差为 2t的正态分布 3 X t 是关于t的连续函数则称 X t t 0 是维纳过程或布朗运动 如果 1 则将其称为标准布朗运动 6 18 2连续时间金融基础随机微分 stochasticdifferentiation 定义布朗运动的微分为离散时间中 与dzt相对应的是 t 1 zt 1 zt布朗运动微分的期望和标准差布朗运动处处连续但处处不可导lim 0 不管在多小的时间区段里 布朗运动都是随机的布朗运动的随机微分描述带漂移布朗运动几何布朗运动 7 18 2连续时间金融基础伊藤引理 Ito sLemma 伊藤引理随机微分法则 如果某个随机变量在做布朗运动 那么这个随机变量的函数的运动是怎样的核心思想 把函数用泰勒展开展至二阶 仅保留所有dt和dzt项 略去其他项 并注意到 dzt 2 dt 8 18 2连续时间金融基础随机积分 stochasticintegration 随机积分定义为随机积分的结果是一个服从正态分布的随机变量布朗运动的随机积分表示解出期望和方差 9 18 3Black Scholes公式的偏微分方程推导 模型设定市场中存在股票和无风险债券两种资产 价格分别为St与Bt市场中还存在一种衍生品 其价格与时间t和股票价格St有关 写为Ct f t St 衍生品定价思路 用股票和衍生品构造无风险组合 组合的回报率应该为无风险利率组合价值 1单位衍生品的空头 以及 股的股票多头 要求这是一个无风险组合意味着 V s 0 从中解出 f s f s可随时变化 组合的权重是随时调整 f S是 可预知的 previsible 由之前的信息所决定 因而在每时刻都要被看成常数 10 18 3Black Scholes公式的偏微分方程推导 续1 利用伊藤引理推导组合价值的微分由于组合无风险 所以组合的价值理应按照无风险利率r增长 11 18 3Black Scholes公式的偏微分方程推导 续2 前面等式左右两边dt前的系数一定要相等 所以必有这是Black Scholes偏微分方程 任何衍生品都必须满足的偏微分方程 结合具体的边界条件 就能解出具体的衍生品价格欧式买入期权边界条件f T ST max ST K 0 欧式卖出期权边界条件f T ST max K ST 0 求解Black Scholes偏微分方程即可得到Black Scholes期权定价公式Black Scholes偏微分方程在物理学中属于 热传导方程 已经被求解出来了 12 18 4Black Scholes公式的鞅方法推导债券与股票价格的积分表示 债券股票 13 18 4Black Scholes公式的鞅方法推导从真实世界到等价鞅测度的变换 根据对数正态分布的性质由于这是在真实世界中计算的期望 所以股票价格不符合鞅性E ST S0erT当市场中不存在套利机会时 一定存在一个等价鞅测度 使得股票价格在这个测度下符合鞅性期望符号上的波浪号表示这是在等价鞅测度下求取的期望基于Girsanov定理 在等价鞅测度下 股价ST应该满足 其中加了波浪符号的dzt是等价鞅测度下的布朗运动 T时刻到期 行权价为K的欧式买入期权在0时刻的价格为 14 18 4Black Scholes公式的鞅方法推导等价鞅测度中求期望 在等价鞅测度中 站在0时刻来看 logST是一个正态分布的随机变量定义u是一个服从标准正态分布的随机变量 u 0 1 a b两个参数分别为找期权行权价K所对应的U 15 18 4Black Scholes公式的鞅方法推导等价鞅测度中求期望 续 求取期望其中的N U 是标准正态分布的分布函数 即一个标准正态分布的随机变量取值小于U的概率 期权价格 16 18 4Black Scholes公式的鞅方法推导Black Scholes公式 欧式买入期权价格的Black Scholes公式Black Scholes公式的经济解释N d2 等价鞅测度下 买入期权被执行的概率e rTKN d2 等价鞅测度下 期望期权行权费用的现值S0N d1 等价鞅测度下 某个随机变量期望值用无风险利率贴现到0时刻的值 这个随机变量在ST K的时候等于ST 其他情况下等于0 17