江西省景德镇第一中学高二数学教案：北师大版 选修2-2 定积分的概念.doc

定积分的概念景德镇一中学数学组：操军华教学目标：知识与技能：通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。学习重点：分割思想和定积分的基本性质学习难点：无限细分和无穷累积的思维方法教学过程设计一、新课引入在小学与中学阶段我们学习了规则图形的面积求法，这一节课我们来学习不规则图形面积的求法。它的求法跟定积分有关，定积分是微积分学的重要内容之一， 定积分在各种实际问题中有着广泛的应用在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用曲边梯形的面积：在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，面对曲边梯形，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.图1a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =bxiOxnx1 x2y=f(x)xy设函数在上连续. 由曲线与直线、轴所围成的图形称为曲边梯形(图1). 为讨论方便，假定.I分割由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大. 为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点. 在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为. 由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此, 这个小曲边梯形的面积.用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和. II.近似代替由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此, 这个小曲边梯形的面积.III.求和得整个大曲边梯形面积的近似值.IV.取极限可以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近. 记，则当时，误差也趋于零. 因此，所求面积. (1)设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。实际运用中我们可以如下操作：1化整为零用任意一组分点将区间分成个小区间，其长度为并记相应地，曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积记为。于是2以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值3积零为整，给出“整”的近似值4取极限，使近似值向精确值转化通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。二：课堂讲解利用定积分的定义，计算的值.分析：（1）分割（2）近似代替，作和（3）取极限讲解实录：三定积分的定义定义 设函数在区间上有定义，任意用分点将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，. 再作和.若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作. 即. (3)其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.四：课堂例题五:课堂思考？下面讨论定积分的几何意义：I若，则积分表示如图2所示的曲边梯形的面积，即II若，则积分表示如图3所示的曲边梯形面积的负值，即y=f(x)baOyxy=f(x)baOyx图2 图3这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是而不是III如果在上的值有正也有负，如图4. 则积分表示介于轴、曲线及直线y=f(x)Oyx之间各部分面积的代数和即在轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积：图4 六：课后探究七.小结：1.定积分的概念：定积分是一种由近似到精确的无穷累积方法2.定积分的几何意义：若，则积分表示如图52所示的曲边梯形的面积；若，则积分表示如图53所示的曲边梯形面积的负值；若在上的值有正也有负，积分表示介于轴、曲线及直线之间各部分面积的代数和. 即在轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积八.作业 同步导学案第一节大书小书.