1.3.1《函数的单调性与导数》教案.doc
1.3.1函数的单调性与导数教案一、教学目的：来#源:中*教&网%1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；来源:学科网2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断函数单调性.三、教学难点：利用导数判断函数单调性.四、教学过程【复习引入】 来源:中*教网&%1. 常见函数的导数公式：； ； ； ； ； ； 来源:学科网ZXXK2.法则1 法则2 , 法则3 来源:学|科|网Z|X|X|K【讲解新课】函数单调性：函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时:1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；www.zz#%&step*.com2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数.导数与函数的单调性有什么关系？【问题探究】来源%:中教#*网1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像来&源:zzs%te*p.com可以看到：y=f(x)=x24x+3切线的斜率f(x)(2，+)增函数正0(，2)减函数负0在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.来源:中国教育*出版&网定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 中国教#育出&版%网【构建数学】来#源:%中教*网一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号，即： 结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间： 如果f(x)>0，则f(x)为增函数；如果f(x)<0，则f(x)为减函数.【数学应用】例1 确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(x22x+4)=2x2.令2x20，解得x1.当x(1，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.来源#:%中*教网令2x20，解得x1.当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数. 例2 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x令6x212x0，解得x2或x0当x(，0)时，f(x)0，f(x)是增函数.来&*源:中教%网#当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.来源:z&zste*p#.com令6x212x0，解得0x2.当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数. 例3 证明函数f(x)=在(0，+)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2(0，+)设x1x2.f(x1)f(x2)=x10，x20，x1x20x1x2，x2x10， 0f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)= 在(0，+)上是减函数.证法二：(用导数方法证)=()=(1)x2=，x0，来源:中&%国*教育#出版网x20，0. ，f(x)= 在(0，+)上是减函数.来源%:中*教网点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4 已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+)=11x2=令0. 解得x1或x1.中国教育出#&版*网y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.来源%:中*&教网y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)来源*:中教网&四、课堂练习：1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=xx3来%#源:中教&网(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)中国%*教育出版网令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(xx3)=13x2=3(x2)=3(x+)(x)令3(x+)(x)0，解得x.y=xx3的单调增区间是(，).来源:Z,xx,k.Com令3(x+)(x)0，解得x或x.y=xx3的单调减区间是(，)和(，+)2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(，+)来源:zzs%tep*&.com令2ax+b0，解得x.y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(，)来源:zzs&tep.c%o#m3.求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x(1)解：y=()=当x0时，0，y0.来源:中国*教&育#出版网y=的单调减区间是(，0)与(0，+)(2)解：y=()当x3时，0，y0.y=的单调减区间是(，3)，(3，3)与(3，+).(3)解：y=(+x).当x0时+10，y0. y=+x的单调增区间是(0，+) 五、小结 ： 根据导数确定函数的单调性1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.来源:学科网ZXXK3.解不等式f (x)>0,得函数单增区间；解不等式f(x)<0,得函数单减区间.六、课后作业：
