最新人教版九年级数学下册27.2.3相似三角形应用举例

27 2 3相似三角形应用举例 人教版九年级数学下册第二十七章相似 27 2相似三角形 1 判断两三角形相似有哪些方法 2 相似三角形有什么性质 复习回顾 定义 平行法 SSS SAS AA HL 1 对应边的比相等 对应角相等 2 相似三角形的周长比等于相似比 3 相似三角形的面积比等于相似比的平方 4 相似三角形的对应边上的高 中线 角平分线的长度比等于相似比 在阳光下 在同一时刻 物体的高度与物体的影长存在某种关系 物体的高度越高 物体的影长就越长 在平行光线的照射下 不同物体的物高与影长成比例 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔 被喻为 世界古代七大奇观之一 塔的 个斜面正对东南西北四个方向 塔基呈正方形 每边长约 多米 据考证 为建成大金字塔 共动用了 万人花了 年时间 原高 米 但由于经过几千年的风吹雨打 顶端被风化吹蚀 所以高度有所降低 埃及著名的考古专家穆罕穆德 应用举例1 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度 在一个烈日高照的上午 他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下 他想考一考年仅15岁的小穆罕穆德 例1 据史料记载 古希腊数学家 天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理 在金字塔影子的顶部立一根木杆 借助太阳光线构成两个相似三角形 来测量金字塔的高度 如图 如果木杆EF长2m 它的影长FD为3m 测得OA为201m 求金字塔的高度BO D E A F B O 2m 3m 201m D E A F B O 2m 3m 201m 解 太阳光是平行线 因此 BAO EDF 又 AOB DFE 90 ABO DEF BO 134 A F E B O 还可以有其他方法测量吗 ABO AEF OB 平面镜 一题多解 1 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例 在某一时刻 有人测得一高为1 8米的竹竿的影长为3米 某一高楼的影长为60米 那么高楼的高度是多少米 解 设高楼的高度为X米 则 答 楼高36米 应用感悟1 如图 为了估算河的宽度 我们可以在河对岸选定一个目标作为点A 再在河的这一边选点B和C 使AB BC 然后 再选点E 使EC BC 用视线确定BC和AE的交点D 此时如果测得BD 120米 DC 60米 EC 50米 求两岸间的大致距离AB A D C E B 应用举例2 解 因为 ADB EDC ABC ECD 90 所以 ABD ECD 答 两岸间的大致距离为100米 应用举例2 我们还可以在河对岸选定一目标点A 再在河的一边选点D和E 使DE AD 然后 再选点B 作BC DE 与视线EA相交于点C 此时 测得DE BC BD 就可以求两岸间的大致距离AB了 此时如果测得BD 45米 DE 90米 BC 60米 求两岸间的大致距离AB 一题多解 1 如图 测得BD 120m DC 60m EC 50m 求河宽AB 解 B C 90 ADB EDC ABD ECD AB EC BD DC AB 50 120 60 100 m A B D C E 应用感悟2 2 为了测量一池塘的宽AB 在岸边找到了一点C 使AC AB 在AC上找到一点D 在BC上找到一点E 使DE AC 测出AD 35m DC 35m DE 30m 那么你能算出池塘的宽AB吗 应用感悟2 例3 已知左 右并排的两棵大树的高分别是AB 8m和CD 12m 两树的根部的距离BD 5m 一个身高1 6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进 当他与左边较低的树的距离小于多少时 就不能看见右边较高的树的顶端点C K 盲区 观察者看不到的区域 仰角 视线在水平线以上的夹角 水平线 视线 视点 观察者眼睛的位置 1 F B C D H G l A K 1 F B C D H G l A K 分析 假设观察者从左向右走到点E时 他的眼睛的位置点F与两颗树的顶端点A C恰在一条直线上 如果观察者继续前进 由于这棵树的遮挡 右边树的顶端点C在观察者的盲区之内 观察者看不到它 E 由题意可知 AB L CD L AB CD AFH CFK 即 解得FH 8 当他与左边的树的距离小于8m时 由于这棵树的遮挡 右边树的顶端点C在观察者的盲区之内 就不能看见右边较高的树的顶端点C 1 小华为了测量所住楼房的高度 他请来同学帮忙 测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0 5米和15米 已知小华的身高为1 6米 那么他所住楼房的高度为米 2 数学兴趣小组测校内一棵树高 如图 把镜子放在离树 AB 8M点E处 然后沿着直线BE后退到D 这时恰好在镜子里看到树梢顶点A 再用皮尺量得DE 2M 观察者目高CD 1 6M 树高多少米 3 如图 已知零件的外径a为25cm 要求它的厚度x 需先求出内孔的直径AB 现用一个交叉卡钳 两条尺长AC和BD相等 去量 若OA OC OB OD 3 且量得CD 7cm 求厚度x O 分析 如图 要想求厚度x 根据条件可知 首先得求出内孔直径AB 而在图中可构造出相似形 通过相似形的性质 从而求出AB的长度 1 相似三角形的应用主要有两个方面 1 测高 测量不能到达两点间的距离 常构造相似三角形求解 不能直接使用皮尺或刻度尺量的 不能直接测量的两点间的距离 测量不能到达顶部的物体的高度 通常用 在同一时刻物高与影长成比例 的原理解决 2 测距 课堂小结 2 解相似三角形实际问题的一般步骤 审题构建图形利用相似解决问题 课堂小结 相似三角形的应用的主要图形 4 如图 一条河的两岸有一段是平行的 在河的南岸边每隔5米有一棵树 在北岸边每隔50米有一根电线杆 小丽站在离南岸边15米的点处看北岸 发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住 并且在这两棵树之间还有三棵树 则河宽为米 5 教学楼旁边有一棵树 数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高 课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹竿的影长是0 9米 但当他们马上测量树高时 发现树的影子不全落在地面上 有一部分影子落在教学楼的墙壁上 他们测得落在地面的影长2 7米 落在墙壁上的影长1 2米 请你和他们一起算一下 树高多少米 图11 6 如图 有一路灯杆AB 底部B不能直接到达 在灯光下 小明在点D处测得自己的影长DF 3m 沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG 4 5m 如果小明得身高为1 5m 求路灯杆AB的高度 A 7 小明在打网球时 使球恰好能打过网 而且落在离网5米的位置上 求球拍击球的高度h 设网球是直线运动 A D B C E 0 8m 5m 10m 2 4m 8 如图所示 一段街道的两边缘所在直线分别为AB PC 并且AB PC 建筑物DE的一端所在MNAB的直线于点N 交PC于点N 小亮从胜利街的A处 沿AB着方向前进 小明一直站在P点的位置等候小亮 1 请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线 以及此时小亮所在位置 用点C标出 2 已知 求 1 中的C点到胜利街口的距离CM 9 为了测量路灯 OS 的高度 把一根长1 5米的竹竿 AB 竖直立在水平地面上 测得竹竿的影子 BC 长为1米 然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米 BB 再把竹竿竖立在地面上 测得竹竿的影长 B C 为1 8米 求路灯离地面的高度 10 如图 小华在晚上由路灯A走向路灯B 当他走到点P时 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部 当他向前再步行12m到达点Q时 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部 已知小华的身高是1 60m 两个路灯的高度都是9 6m 设AP x m 1 求两路灯之间的距离 2 当小华走到路灯B时 他在路灯下的影子是多少 课堂小结 一 相似三角形的应用主要有如下两个方面1测高 不能直接使用皮尺或刻度尺量的 2测距 不能直接测量的两点间的距离 二 测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度 通常用 在同一时刻物高与影长的比例 的原理解决 三 测距的方法测量不能到达两点间的距离 常构造相似三角形求解 课堂小结 相似三角形的应用的主要图形 挑战自我 如图 ABC是一块锐角三角形余料 边BC 120毫米 高AD 80毫米 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在BC上 其余两个顶点分别在AB AC上 这个正方形零件的边长是多少 N M Q P E D C B A 解 设正方形PQMN是符合要求的 ABC的高AD与PN相交于点E 设正方形PQMN的边长为x毫米 因为PN BC 所以 APN ABC所以