厦门大学网络教育线性代数复习题B(含

厦门大学网络教育学线性代数复习题 B一、选择题（每小题 3 分 ， 共 18 分）1 设行列式 ，则 （ ）。A ； B ；C ； D 。2 已知 为 阶非零方阵， 为 阶单位矩阵，若 ，则 （ ） 。A 不可逆， 不可逆； B 不可逆， 可逆；C 可逆， 可逆； D 不可逆， 可逆。3 向量 ， ， 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。A ， ， ； B ， ， ；C ， ， ； D ， ， 。4 若 3 阶方阵 及 ， 都不可逆，则 的特征多项式中常数项为（ ）。A ； B ； C ； D 。5 下列命题错误的是（ ）。A 相似矩阵有相同的特征多项式；B 个 维向量必线性相关；C 矩阵 是 阶正交矩阵的充分必要条件是 ；D 若矩阵 的秩是 ，并且存在 阶子式，则其所有的 阶子式全为 。6 下列命题正确的是（ ）。A 若 ， 为同阶方阵，且 ，则 也是对称阵 ； B 若 ，且 ，其中 为零矩阵，则 ；C 齐次线性方程组 （ 是 矩阵 ）有唯一解的充分必要条件是 ； D 设非齐次线性方程组 有无穷多解，则相应的齐次线性方程组 有唯一解。二、 填空题 ( 每小题 3 分 , 共 18 分 ) 7 设 矩阵 ， ，其中 ， ， ， ， 均为四维列向量，且已知行列式 ， ，则行列式 。8 若 ，当 _ 时， 。9 与 正交，则 。10 已知 3 阶矩阵 的特征值为 ， ， ，则矩阵 （ 为三阶单位矩阵）的特征值为 。11 设 为可逆矩阵，且 ，则 。12 若 ， 均可逆， ，则 可逆，且 。三、 计算题 ( 共 6 4 分 )13 行列式计算（ 10 分）求行列式 ，其中 ， 是 阶行列式，主对角线上的元素为 ，其余元素为 。14 求解矩阵方程（ 10 分）设 ， ，求 。15 线性方程组的计算（ 12 分）设有线性方程组 ，问 取何值时，此方程组（ 1 ）有唯一解；（ 2 ）无解；（ 3 ）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。16 向量组计算（ 10 分）已知向量组 ， ， ， ， ，试求 ， ， ， ， 的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。17 设二次型 可通过正交变换化成标准型 ，求参数 及使用的正交变换（ 20 分）说明：（ 1 ）先将二次型表示成矩阵形式（ 2 分）；（ 2 ）求出 的值（ 5 分）；（ 3 ）求出对应于特征值的特征向量（ 6 分）；（ 4 ）将这些特征向量正交单位化（ 3 分）；（ 5 ）最后写出所作的正交变换（ 4 分）。请按上述五步顺利给出解题过程。一、选择题（每小题 3 分 ， 共 18 分）1 B 。解：由行列式的性质可知。2 C 。解：由于 ， ， 因此 ， 均可逆，故选 C 。3 C 解：显然有 ，所以 ， ， 线性相关，故选 C 。4 A 。解：根据定理 5.1 知，设 是 的特征值，则必有 ，于是 不可逆，又 及 ， 都不可逆，那么 ， ， 不可逆，知 的特征值为 ， ， ，而 的特征多项式中常数项的值等于 。5 D 。解： A 正确，相似矩阵有相同的特征多项式（ 5.2 性质 5 ）。B 正确， 个 维向量必线性相关（定理 2.5 ）。C 正确，矩阵 是 阶正交矩阵的充分必要条件是 ，这是正交矩阵的定义。D 错误，矩阵 的秩是 ，若其所有的 阶子式全为 ，则 的任何 阶子式都为 ，这与矩阵的秩为 矛盾（注意矩阵 的秩是 ，说明其存在一个 阶非零子式）。6 A 。解： A 正确，若 ， 为同阶方阵，且 ，则 ，则 也是对称矩阵 。B 错误，反例： ，记 ，但 。注意矩阵乘法不满足消去律，当 ，只有 可逆时，才有 。C 错误，齐次线性方程 （ 是 矩阵 ）有唯一解的充分必要条件是 。D 错误，非齐次线性方程组 有无穷多解，则 的秩小于 的列秩，即 的秩小于方程未知数的个数，是 相应的齐次线性方程组 有无穷多解的充要条件。二、 填空题 ( 每小题 3 分 , 共 18 分 ) 7 解：。8 解： ，又 ，故 。9 因为 ， 正交，所以 ，则 。10 解：由 ，可知 是 的特征值，于是由 的特征值 ， ， 可知 的特征值 为 ， ， 。11 解： 为可逆矩阵，则 可写成一系列初等矩阵的乘积， 由 左乘 得到，相当于可通过初等行变换把 变成 ，由于初等变换不改变矩阵的秩，故 ，而 ，所以 。12 解：由 且 、 可逆可知， 可逆， 设矩阵 ，使得 ，即 ，则 ，故 ； ，则 ； ，故 ， ； ，则 ，故 所以 。三、 计算题 ( 共 6 4 分 )13 解： （将各列分别加到第 1 列得） 再将第一行乘以 分别加到其余各行，得14 解：由 ，可得 。由于，而 ，所以 可逆，则 。 因此 。15 解：对增广矩阵 作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有。（ 1 ）当 且 时， ，方程组有唯一解。（ 2 ）当 时， ， ，方程组无解。（ 3 ）当 时， ，方程组有无限个解，这时，由此便得通解（ 可任意取值）即， ( ) 。16 解： 将向量 ， ， ， ， 看成一个矩阵的列向量组，得矩阵对矩阵 仅施以初等行变换，把 化为阶梯形矩阵因此向量组 ， ， 是向量组 ， ， ， ， 的一个极大线性无关组，且 ， 。17 解：（ 1 ）二次型 ，其中， 。由题意知 的特征值为 , , 。将 代入，得，得 ，于是 。（ 3 ）下面求特征向量：当 时，解得方程组 的基础解系为 。当 时，解方程组 ，可得线性方程组的基础解系为 。当 时，解方程组 ，可得线性方程组的基础解系为 。容易看出 ， ， 两两正交。（ 4 ）下面将 ， ， 单位化， ， 。（ 5 ）取 。令 ， 其中所作的正交线性变换为 ，即