自动化控制系统的稳定性及基本特性

第3章 控制系统的稳定性及特性 控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及 稳态性能直接表征了系统的优劣; 系统的稳定性是系统正常工作的首要条件 系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定，而 与系统的输入无关； 系统的稳态误差是系统的稳态性能指标，它标志着系 统的控制精度； 知 识 要 点 u系统稳定的充分必要条件，Routh判据； u误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型别； 3.1 引言 一对控制系统性能的要求 1、系统应是稳定的； 2、系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求； 3、系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差要求。 二控制系统的自然状况 一般来讲，根据应用的需求或者对象本身的特性，被控对 象既可以是稳定的也可以是不稳定的。 反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。 如何定义系统的稳定性？ 如何判定系统的稳定？ 反馈控制系统的特性如何？有什么优势？ 三、控制系统的性能指标 稳态性能指标、动态性能指标。 1稳态性能指标 用稳态下系统的输出量的期望值与实际值之间的差值来 衡量稳态误差。 表现形式：稳态误差。 误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 2. 动态性能指标 详见第4章。 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数 典型的反馈控制系统如图所示 。 前向通道：由偏差信号至输出信号的通道； 反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。 3.2.1 开环传递函数 系统开环传递函数定义为： 将反馈通道H(s)的输出断开后，前向通道与反馈通道传递 函数的乘积。 即为 当H(s)1时，称为单位反馈系统。此时开环控制系统的 传递函数就是反馈控制系统前向通道的传递函数，即 此时有 开环控制系统与反馈控制系统的区别： 1）开环控制基于对被控对象进行补偿的原理来实现控制 ，以 Gc(s)Gp(s)=1为理想要求。 2）反馈控制的原理是基于偏差来产生控制作用。反馈控制系统的 控制器也称为串联校正装置，其输入为偏差信号。 3）若控制器的输入是系统的偏差信号，则为串联校正装置，若直 接为参考输入信号，则为开环控制器。 令 则 定义：C(s)/R(s)为被控信号对于控制信号的闭环传 函，记为 ，即 1. 给定输入作用下的闭环传递函数 3.2.2 闭环传递闭环传递 函数 定义：C(s)/N(s)为被控信号对于扰动信号的闭环 传函，记为 。 令 称为误差传函 或偏差传函 2. 扰动作用下的闭环系统的传递函数 3.参考输入与干扰输入同时作用于系统时系统的总输出 （1）根据信号之间间的相互关系推导导 （2）利用线线性叠加原理 同样样可得上述结结果 3.3 闭环系统的稳定性 系统能否工作及工作状态如何？ 1、能够工作：稳定性(稳) 2、反应能力：动态特性(快) 3、工作效果：稳态特性(准) 3.3.1 稳定的概念与定义 定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的 推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若 在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不 稳定。 3.3.2 线性系统稳定的充要条件 稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。 线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部， 或其特征根全部位于s平面的左半部。 3.3.3 稳定判据 1. Routh稳定判据 系统的特征方程为 必要条件: （1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)具有相同的符号。 充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。 劳斯阵列 第1列中符号改变了2次，特征方程有2个根在右半s平面 ，所以系统是不稳定的. 例3-5 已知系统的特征方程为 试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解： 构造劳斯表如下： 例3-6：考虑单位负反馈系统稳定的K的范围 闭环系统的特征方程为 根据劳斯判据得使系统稳定的充要条件是 劳斯表为： 解： 符号改变一次 符号改变一次 例 3-8 已知系统的特征方程 ， 试判断系统的正的特征根的个数。 解：它有一个系数为负的，根据劳斯判据知系统不稳定。 但究竟有几个右根，需列劳斯表： 劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半 平面的根 2. Routh判据的特殊情况（几点说明） 、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项， 不改变稳定性的结论。 2、对于不稳定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在 复平面右侧特征根的数目，就等于劳斯阵中第一列系数符号改 变的次数。 3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零 ，这时可以用一个有限小的正数来代替为零的那一项，然后按 照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列出劳斯阵以后，观察 第一列数值，当0时，含项的符号与上、下行符号进行比较 ，若系数符号相反，就说明有符号改变。 4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号 相反的实根或一些共轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的 最后一行的各项组成一个辅助方程，由该方程对s求导数，用 求导得到的各项系数来代替为零行的各项，然后继续按劳斯阵 的计算方法写出以下各行。 a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。 劳斯判据的特殊情况1 稳定性判定： 劳斯表首列有2次符号变化，所以有 2个特征根位于s平面的右半平面， 系统是不稳定的。 该特征方程的根为：-1.9571， 0.0686j1.2736和-0.0901j0.5532。 例3-9：考虑系统特征方程如下： 试分析系统的稳定性。 解： 构造劳斯表如下： 例3-10 设系统特征方程为 ，试判别 系统的稳定性。 解： （1）特征方程各项系数大于0； （2）列劳斯阵 当0时， ，该项符号为负，因此，劳斯阵中 第一列系数符号改变了两次，系统不稳定，有两个特征根位 于复平面右侧。 例3-11 设系统特征方程为 ， 试分析系统的稳定性。 解： 列劳斯表为 劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统 不稳定，有2个特征根位于s平面的右侧。 b.劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 例3-11 给定控制系统特征方程为 试判别系统的稳定性。 解：由系统的特征方程计算劳斯表如下 劳斯阵中s3行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s4 行 )的各项组成辅助方程为 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程 用导数方程的系数取代 s3行中为零的项，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位 于复平面右侧的根。由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这 些根可由辅助方程求出。 令 解得两对共轭虚根为 另外两个根是 例3-12 给定控制系统特征方程为 ，试判 别系统的稳定性。 解：由系统的特征方程计算劳斯表如下 劳斯阵中s1行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s2 行 )的各项组成辅助方程为 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程 用导数方程的系数取代 s3行中为零的项，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位 于复平面右侧的根。 由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这些根可由辅助方 程求出。 令 解得共轭虚根为 系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定。 例3-14 设系统特征方程 ， 试判别系统的稳定性。 解：（1）特征方程各项系数大于0； （2）列劳斯阵 劳斯阵中 s3 行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行 ( s4 行)的各项组成辅助方程为 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程 解：系统特征方程为 为使系统稳定，必须： （1）特征方程各项系数大于0，即要求K0； （2）列劳斯阵 第一列各项系数应大于零，于是有 6K0，即K6。 为使系统稳定，K的取值范围应为0K6，临界开环增 益为Kp6。 例3-15 已知控制系统的闭环传递函数为 ， 试确定系统的临界开环增益。 3.Routh判据的应用 例3-16 设系如图所示，试确定是闭环系统稳定的参数取值范围。 若系统以 的频率作等幅振荡，试确定振荡时K和 的值。 解：由图可求得系统的特征方程为 列劳斯表如下 为使系统稳定，必须： 所以使闭环系统稳定的参数取值范围为 若系统以 的频率作等幅振荡，则 可得 则系统存在 有一对纯虚根 又由已知条件，系统以 的频率作等幅振荡，则 所以系统以 的频率作等幅振荡时的参数值为 4.Hurwitz判据 设系统的特征方程为： 则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数ai(i=1,2,n) 构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即 例3-18 系统的特征方程为 试用赫尔维茨判据判断使系统稳定的条件。 解：列出行列式 由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是： 或写成系统稳定的充分必要条件为 a0>0 a1>0 a2>0 a3>0 a1a2-a0a3>0 3.3.4 相对稳定性和稳定裕量 相对稳定性是指系统的特征根在s平面的左半平 面且与虚轴有一定的距离 ，并称为稳定裕量。 （1）以s=w代入原特征方程,得出以w为变量的新特 征方程(w)=0； （2）用劳斯判据判定方程(w)=0在w平面上虚轴右边 根的个数，等价于判定原特征方程在s平面上垂线 s=右边特征根数目。 处理方法： 例3-19 设系统的特征方程如下，试判断系统是否稳 定？如果稳定，有多大的稳定裕量？ 解：系统的劳斯表为： 系统稳定，采用试凑法，将s=w-2带入特征方程， 系统的劳斯表为： 说明多项式方程在w平面的虚轴上存在对称于原点的特 征根。根据定义，该闭环系统的稳定裕量为：=2。 事实上，多项式方程的根为：w1,2=j和 w3=1。这说明原特征方程在s平面上的根为： s1,2=2j和s3=3。 例3-19 由一个积分环节和两个惯性环节组成的闭环控制系统如 图所示，试分析系统的放大系数K及时间常数T1和T2的大小对系 统稳定性的影响。其中，K为系统的开环放大系数，T1和T2为两 个惯性环节的时间常数， 。 3.3.5 控制系统参