版高考数学专题辅导与训练配套：函数的图象与性质(湖北专供数学文)

第一讲 函数的图象与性质 【考情快报】 (1)主要考查函数的求值、单调性、奇偶性、周期性、图 象，多以一次、二次、指数、对数、幂函数及由它们构成的函 数、分段函数为载体进行考查. (2)考查时一般是由几个知识点交汇命题，多以选择题、 填空题的形式考查，属中、低档题目. 【核心自查】 一、主干构建 二、概念理解 1.函数的单调性 熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的两种等价形式： 设x1，x2a,b，且x1x2，则 (1) f(x)在a,b上是_， f(x)在a,b上是_. 增函数 减函数 (2)(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a，b上是 _，(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是 _. 2.函数的奇偶性 正确理解奇函数和偶函数的定义，注意两个问题： (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶 函数的必要不充分条件. (2)_或_是定义域上的恒等式. 增函数 减函数 f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x) 3.函数的周期性 设函数y=f(x), xD,如果存在非零常数T,使得任何xD,都 有_,则称函数f(x)为周期函数,T为y=f(x)的一 个周期. f(x+T)=f(x) 三、重要公式 1对数的运算性质 如果a0，且a1，M0,N0,那么： (1)loga(MN)=_; (2)loga =_; (3)logaMn=_(nR). 提醒：logaM-logaNloga(M-N), logaM+logaNloga(M+N). logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 2对数的性质和对数换底公式 (1)对数性质：logaa=1;loga1=0;零和负数没有对数.对数恒 等式： =N(N0). (2)对数换底公式：logbN=_. 推论: = logaN; logab= . 3.与周期函数有关的结论 (1)若f(x+a)=f(x+b)(ab),则f(x)是周期函数,其中一个周 期是T=a-b. (2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,其中一个周期是 T=2a. (3)若f(x+a)= 或f(x+a)= ,则f(x)是周期函数,其 中一个周期是T=2a. 提醒：若f(x+a)=f(-x+b)(ab),则函数f(x)关于直线 x= 对称. 热点考向 一 函数及其表示 【典例】1.(2012山东高考)函数f(x)= 的定义域为( ) (A)-2,0)(0,2(B)(-1,0)(0,2 (C)-2,2(D)(-1,2 2.(2012陕西高考)设函数f(x)= ，则 f(f(-4)=_. ,x0 ,x0 【解题指导】1.本题主要考查函数定义域的求法：(1)分母不为0； (2)偶次根式里面为非负数；(3)真数大于零. 2.这是一个分段函数，注意根据自变量的取值判断用哪一段上的 函数解析式求值. 【解析】1.选B.因为 解得-2x2，且x-1且 x0，所以定义域为(-1,0)(0,2. 4-x20, x+10， ln(x+1)0， 2.x=-40，f(-4)= =16，因为x=160，所以f(16)= =4. 答案：4 【互动探究】第1题解析式改为f(x)= +lg(1+x),求定义域. 【解析】要使函数有意义，需 解得x-1且x1,从 而定义域为(-1,1)(1,+). 1+x0, 1-x0， 【拓展提升】 求函数定义域的方法 (1)根据具体函数y=f(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义 的不等式(组)，求解即可. (2)根据抽象函数求定义域时：若已知函数f(x)的定义域为 a,b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出 .若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域 为g(x)在xa,b时的值域. 热点考向 二 函数的图象及其应用 【典例】1.(2012湖北高考)已知定义在区间(0,2)上的函数 y=f(x)的图象如图所示，则y=-f(2-x)的图象为( ) 2.(2012天津高考)已知函数 的图象与函数y=kx的 图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_. 【解题指导】1.本题考查函数图象的变换,解答的关键是明确各 种变换的规律. 2.化简函数 在同一个坐标系中画出两个函数的图象， 数形结合求得k的范围. 【解析】1.选B.由y=f(x)的图象向左平移两个单位得 y=f(x+2); 再把y=f(x+2)的图象关于原点对称得y=-f(-x+2)的图象,可知答案 选B. 2. 画出图象如图所示: 要使函数 与y=kx有两个不同的交点，则直线y=kx必 须经过图中阴影部分,当直线经过第一象限的阴影时,1k2, 当直线经过第三象限的阴影时, 0k1,故实数k的取值范围 是(0,1)(1,2). 答案：(0,1)(1,2) 【拓展提升】 1.函数图象的作法 (1)利用已知函数的图象通过图象变换作图; (2)对函数解析式进行恒等变换,转化成已知方程对应的曲线. (3)通过研究函数的性质明确函数图象的位置和形状. 2.根据图象的交点研究方程的根,求参数的取值范围. 研究方程的根的个数、根的范围及有关参数的取值范围问题， 可通过画出函数的图象来解决，图象交点的横坐标就是方程的 根. 热点考向 三 函数性质的综合应用 【典例】(12分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)= -f(x). (1)求f(2 012)的值； (2)求证：函数f(x)的图象关于直线x=2对称； (3)若f(x)在区间0,2上是增函数，试比较f(-25), f(11),f(80)的大小； (4)若f(x)满足(3)中的条件，且f(2)=1,求函数f(x)的值域. 【解题指导】本题综合考查了函数的单调性、奇偶性、周期性 、对称性、最值(值域)等性质.解答此题(1)需要先探究f(x)的 周期性，再求f(2 012). (2)只需证明：f(2+x)=f(2-x)即可. (3)先利用周期性、奇偶性将f(-25),f(11),f(80)转化到f(x) 的同一单调区间上，再进行比较. (4)利用单调性及周期性求解. 【规范解答】(1)因为f(x-4)=-f(x), f(x)=-f(x-4)=-f(x-4)-4) =f(x-8)， 故可知函数f(x)的周期为T=8, 2分 所以f(2 012)=f(2518+4)=f(4)=-f(4-4) =-f(0).又f(x)为定义在R上的奇函数, f(0)=0,故f(2 012)=0. 4分 (2)f(x)=-f(x-4),f(x+2)=-f(x+2)-4)=-f(x-2)=f(2-x)， 知函数f(x)的图象关于直线x=2对称. 6分 (3)由(1)知f(x)为以8为周期的周期函数, 所以f(-25)=f(-3)8-1=f(-1), f(11)=f(8+3)=f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=f(1), f(80)=f(108+0)=f(0). 又f(x)在0,2上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以 f(x)在-2,2上为增函数，或画草图，如图： 则有f(-1)f(0)f(1).即f(-25)f(80)f(11). 10分 (4)由(3)知f(x)在-2,2上为增函数， 当x-2,2时,f(-2)f(x)f(2), 又f(2)=1,f(-2)=-f(2)=-1, -1f(x)1,而f(x)的图象关于直线x=2对称，故在2,6上 的值域亦为-1,1，根据周期性知xR时-1f(x)1,故值域 为-1,1. 12分 【拓展提升】 1.判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的一般用数形结合法去观察. (2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化 为基本初等函数单调性的判断问题. (3)对于解析式较复杂的一般用导数法. (4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数奇偶性的应用 应用函数的奇偶性可先求参数的值，画关于原点对称区间上函 数的图象，再求解析式、函数值、判断单调性. 3.函数周期性的应用 若T为f(x)的一个周期，则f(x+nT)=f(x)(nZ). 4.求函数最值(值域)常用的方法 (1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数； (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； (4)导数法：适合于可求导数的函数. 【思想诠释】 函数性质中的数形结合思想 (1)本题中的数形结合思想主要有: 证明函数f(x)的图象关于直线x=2对称时,数形结合可知只需 证明f(2+x)=f(2-x)即可. 在利用单调性比较大小时,可数形结合通过图象观察. (2)函数性质中应用数形结合思想的常见类型: 已知函数的单调性和周期性,常画出函数的图象求解; 已知函数的奇偶性和相应函数的对称性，常画出函数的图象 求解; 求函数的最值或值域时,常结合相应函数在待求区间上图象的 最高点、最低点的纵坐标求解. 1.(角度新)为了得到函数y=log2 的图象，可将函数y= log2x的图象上所有的点的( ) (A)纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移1个单 位长度 (B)纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向左平移1个单 位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单 位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单 位长度 【解析】选A.y=log2 = log2(x-1),根据平移规律知选A. 2.(背景新)某地一年的气温Q(t)(单位：)与时间t(月份)之间 的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ,令G(t)表示时 间段(0,t)的平均气温，G(t)与t之间的函数关系用下列图象表 示，则正确的应该是( ) 【解析】选A.该年的平均气温为10 ,故t=12时，G(t)=10,故 D不对，图象开始应先下降，经过Q(t)最低点后一直上升，直 到最后到平均气温10 ，故选A. 3.(交汇新)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时 ，f(x)=x，那么在区间1，3内关于x的方程y=kx+k+1 (kR,k-1)的根的个数为( ) (A)不可能有3个 (B)最少有1个，最多有4个 (C)最少有1个，最多有3个 (D)最少有2个，最多有4个 【解析】选B.函数f(x)的图象如图所示: 函数g(x)=kx+k+1=k(x+1)+1恒过定点(-1,1),故选B. 【解析】f(x)=a(x+ )2-a- ， f(-1)f(3)f(2)f(1)， a0且1 -1a- . 答案：(-1,- ) 4.(角度新)若二次函数f(x)=ax2+2x-a满足f(-1)f(3) f(2)f(1)，则实数a的取值范围为_.