材料力学-附录_2013_3_27教材

附附 录录 截面图形的性质截面图形的性质 AppendixAppendix Properties ofProperties of Plane AreasPlane Areas 平面图形的几何性质包括：重心平面图形的几何性质包括：重心 ，形心，静矩，惯性矩与惯性积，形心，静矩，惯性矩与惯性积 。重心与形心 重心与形心 1、定义：如果将物体看成由许多个质点组成的，则 各质点所受到的重力便组成一个空间力系。此力系合 力的大小就是物体的重量。合力的作用线总是通过一 个确定点，该点称为物体的重心。如果是均质物体， 重心的位置完全取决于物体的几何形状，而与物体的 重量无关。这时物体的重心也称为形心。 式中式中xi, yi, zi为mi 的坐标，xc ,yc, zc为重心的 坐标 当物体为均质时，得到如下的重心坐标公式： 重心与形心的简单确定重心与形心的简单确定 根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其 重心及形心的位置。 1 1、对称法：、对称法：对于形状比较规则的物体及图形，其重心 及形心可根据对称性直接判断。（1）具有 一 根对称 轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上；（2）具 有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称 轴的交点上；（3）中心对称的简单物体及图形，其对 称中心便是重心或形心。 2 2、积分法、积分法 若将平面图形分割成无穷多个微分面积 ，在极限情 况下用积分公式 3 3、组合法、组合法 工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组 成的，这种图形称为组合图形，这些截面称为组合截 面。由于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此 计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。 dA y y x x x x y y 形心形心 ( center of an area ) ( center of an area ) 公式公式 重要结论重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。 面积矩（静矩）面积矩（静矩）( first moment of area ) ( first moment of area ) 一、几何图形的一次矩一、几何图形的一次矩 c x xc c y yc c 例例11求三角形求三角形ABCABC对底边对底边BCBC的静矩的静矩 b h A B C O y x 解: y 积分得： 例例4-24-2：计算由抛物线、：计算由抛物线、y y轴和轴和z z轴所围成的平面轴所围成的平面 图形对图形对y y轴和轴和x x轴的静矩，并确定图形的形心坐标轴的静矩，并确定图形的形心坐标 。 解： y 数学工具箱数学工具箱 平面图形中的微元面积平面图形中的微元面积 直角坐标系直角坐标系 极坐标系极坐标系 如果被积函数与如果被积函数与 x x 无关无关 如果被积函数与如果被积函数与 无关无关 y y x x dA dA x x y y r b b y y x x dA dA x x y y r 例例 求如图半径为求如图半径为 R R 的四分之一圆的形心位置。的四分之一圆的形心位置。 同理同理 x x y y dA r 组合图形的形心公式为组合图形的形心公式为 组合图形的面积矩组合图形的面积矩 组合图形的面积组合图形的面积 组合图形组合图形 组合图形形心计组合图形形心计 算中的负面积法算中的负面积法 7 7a/a/ 2 2 3 3a/a/ 2 2 例例 求如图截面的形心位置。求如图截面的形心位置。 3 3a a a a a a 3 3a a x x 5 5a/a/ 2 2 例例 求如图截面的形心位置。求如图截面的形心位置。 以下边缘为基准以下边缘为基准 以下边缘为基准以下边缘为基准 a a a a 2 2a a a a a a 2 2a a a a a a 2 2a a a a a a 2 2a a x x a a a a 2 2a a x x 1.371.37a a 形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上 形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上 惯性矩惯性矩 ( moment of inertia )( moment of inertia ) 惯性积惯性积 ( product of inertia )( product of inertia ) dA y y x x x x y y 极惯性矩极惯性矩 ( polar moment of inertia )( polar moment of inertia ) r r 二、几何图形的二次矩二、几何图形的二次矩 例例 求如图三角形对求如图三角形对 x x 轴的惯性矩。轴的惯性矩。 斜边的方程为斜边的方程为 h h b b y y x x 分析和讨论分析和讨论 可以用如图的竖向微元面积条将二重可以用如图的竖向微元面积条将二重 积分化为单重积分吗？积分化为单重积分吗？ h h b b y y x x d dA A h h b b y y x x d dA A h h b b y y x x d dA A 另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条 求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。 h h b b y y x x 动脑又动笔动脑又动笔 对对 x x 轴的惯性矩轴的惯性矩 同理可得对同理可得对 y y 轴的惯性矩轴的惯性矩 对对 xyxy 轴的惯性积轴的惯性积 例例 求如图半径为求如图半径为 R R 的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和 极惯性矩。极惯性矩。 x x y y dA r 对对 x x 轴的惯性矩轴的惯性矩 同理可得对同理可得对 y y 轴的惯性矩轴的惯性矩 对原点的极惯性矩对原点的极惯性矩 动脑又动笔动脑又动笔 求图形的惯性求图形的惯性 矩与惯性积。矩与惯性积。 实心圆实心圆 空心圆空心圆 D D x x y y D x x y y D x x y y d 重要数据重要数据 高为高为 h h 宽为宽为 b b 的的矩形截面对通过形心且平矩形截面对通过形心且平 行于底边的坐标轴的惯性矩为行于底边的坐标轴的惯性矩为 。 重要结论重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。 重要数据重要数据 实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩 ，极惯性矩为，极惯性矩为 。空心圆截面的惯性矩空心圆截面的惯性矩 ，极惯性矩为，极惯性矩为 为为 为为， ， 为内径为内径 与外径之比。与外径之比。 组合图形组合图形 组合图形的分割组合图形的分割 组合图形的组合图形的 负二次矩法负二次矩法 例例 求如图工字形截面关于中线的求如图工字形截面关于中线的 惯性矩。惯性矩。 截面可视为截面可视为 一个矩形与两个一个矩形与两个 矩形之差。矩形之差。 1010 1010 6060 6060 1010 1010 1010 6060 6060 三、平行移轴定理三、平行移轴定理 如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的 惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积， 如何求图形关于另一平行坐标如何求图形关于另一平行坐标 系的惯性矩和惯性积？系的惯性矩和惯性积？ 特别地，先考虑过形心的坐标系。 y y x x y y y y x x x x 平行移轴定理平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )( parallel-axis theorem ) 由于由于 x x 轴过形心轴过形心 同理同理 dA y y x x c dA y y x x c dA y y b a a y y x x x x c dA y y x b b a a y y y x x x x （x x ，y y ） 普通坐标系。普通坐标系。 （x x ，y y ） 形心坐标系。形心坐标系。 平行移轴定理平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )( parallel-axis theorem ) 注意注意 在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。 否则应用公式否则应用公式 。 重要结论重要结论 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的 惯性矩为最小惯性矩为最小。 c dA y y x b a a y y y x x x x 重要公式重要公式 A Aa a I I I I x x x x 2 2 + + = = AbII yy 2 += abAII yxxy += b h C 例例 求如图的截面对形心轴的惯性矩。求如图的截面对形心轴的惯性矩。 动脑又动笔动脑又动笔 K 求直角三角形对于过形心的求直角三角形对于过形心的 C C 轴的惯性矩。轴的惯性矩。 3 3a a a a a a 3 3a a a a a a 3 3a a 3 3a a 5 5a/a/ 2 2 a a a a 3 3a a 3 3a a a a a a 3 3a a a a a a x xc c 3 3a a a a a a 3 3a a a a a a x xc c 3 3a a y y 例例 求如图的截面对求如图的截面对 x x 和和 y y 轴的惯性矩。轴的惯性矩。 半圆对半圆对 K K 轴的惯性矩轴的惯性矩 已知半圆对已知半圆对 x x 轴的惯性矩为轴的惯性矩为 故图形对故图形对 x x 轴的惯性矩为轴的惯性矩为 K K 半圆对半圆对 y y 轴的惯性矩为轴的惯性矩为 a a a a x x y y a a a a a a a a a a a a a a a a x x a a a a a a a a a a a a y y a a a a x x a a a a a a a a a a a a y y 错在何处？错在何处？ K K 故半圆对故半圆对 y y 轴的惯性矩为轴的惯性矩为 故原图形对故原图形对 y y 轴的惯性矩为轴的惯性矩为 y y 轴与轴与 C C 间的距离为间的距离为 半圆对半圆对 C C 轴的惯性矩轴的惯性矩 4 4a/a/ 3 3 C C + + + + ? ? a a a a x x a a a a a a a a a a a a y y + + ? ? C C 分析和讨论分析和讨论 a a a a a a A A B B C C D D 如图的三角形对哪一根轴的如图的三角形对哪一根轴的 惯性矩最小？对哪一根轴的惯性惯性矩最小？对哪一根轴的惯性 矩最大？矩最大？ b b K K R 要使如图的半圆对要使如图的半圆对 K K 轴的惯轴的惯 性矩为最小，性矩为最小，b b 应取何值？应取何值？ 图示图形的惯性积是正数还图示图形的惯性积是正数还 是负数？是负数？ x x y y 四、转轴定理 如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的 惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积， 坐标系绕原点转动了一个角度坐标系绕原点转动了一个角度 构成新坐标系，如何求图形关于新构成新坐标系，如何求图形关于新 坐标系的惯性矩和惯性积？坐标系的惯性矩和惯性积？ x x y y x