虚拟仪器与硬件在环第九讲解析

硬件在环与虚拟仪器 第九讲 主要内容 傅里叶变换 离散傅里叶变换的问题 混叠问题 泄露问题 栏栅问题 复频域分析 周期信号为什么要做傅里叶变换 ？ 傅里叶于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里有个在当时具有争议性的 决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时拉格朗日和拉普 拉斯审查了这篇论文。当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格 朗日坚决反对。拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波 中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶。直到 拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦 曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是 对的。 用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方 法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示 原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个 正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频 率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用 方波或三角波来表示。 更小的信号单元复指数信号 在现实中，正余弦信号是我们能看到的最小信号单位。 在数学上，正余弦信号还可以进一步分解成更小的信号单元复指数信号 ： Re Im 1 ejt cos(t) sin(t) Re Im 1 ejt e-jt 周期信号傅里叶分解 周期信号是定义在（-，+）区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化 的信号。它可表示为 f（t）=f（t+mT） 式中m为任意整数，T称为该信号的重复周期，简称周期。周期的倒数f 称为该 信号的频率。=2/T称为该信号的角频率。 1、傅里叶级数分解式 设f（t）是周期为T1，角频率为1=2/T1 的周期函数，它可展开（或分解 ）为傅里叶级数 式中n为正整数，an，bn，cn为各次谐波分量的幅度值 周期信号傅里叶分解 an，bn，cn可按以下公式计算： 直流分量 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度 且有 周期信号傅里叶分解 这种图称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱。连接各谱线顶点的曲线（ 3-1中虚线所示）称为包络线，它反映了各分量的幅度变化情况。类似的，也可 以画出各分量的相位n都是频率n1的线图，这种图称为相位频谱，简称相位 谱。从图3-1所示的幅度谱和相位谱的例子可见，周期信号的频谱只会出现在0 ，1，21，等离散频点上，故称其为离散谱或线状谱，这是周期信号频 谱的主要特点。 周期信号傅里叶分解 正弦、余弦项用虚指数函数代入，即 得到指数形式的傅里叶级数展开式： 在这个式子中n出现了负值，即出现了负的频率，这是由于sin（n1t）和cos （n1t）写成指数形式时，引入了-jn1t 项。负频率的出现完全是数学运算 带来的结果，并没有任何物理意义，信号的实际频率只能是正数，而不可能是 负数。 周期信号傅里叶分解 同样可以画出指数形式表示的信号频谱，由于Fn一般是复变函数，所 以称这种频谱为复数频谱。又由于n从-+，频率n1也从负无穷 大变化到正无穷大，所以这种频谱为双边频谱。根据Fn=|Fn|ejn，可 以画出复数幅度谱|Fn|及复数相位谱n。如果Fn为实数，则可 以用Fn的正负表示n的0，此时可将幅度谱和相位谱合画在一张图 上，如图3-2（c）所示，从式3-9、3-10和图3-2均可以看到，|Fn|是n （或频率n1）的偶函数，幅度谱相对于纵轴对称；而n是n（或频率 n1）的奇函数，相位谱相对于原点对称。 2 t 2 t - t A )(tx t p2 t p2 - At )(jX (1)连续、非周期信号 频谱特点：频谱特点： 连续非周期谱连续非周期谱 )( 0 nX 0 n T0A /t T0/2 0 p= t p2 t p2 - (2)连续、周期信号 -t/ 2 T- A t T )(tx T t/ 2 频谱特点：频谱特点： 离散非周期谱离散非周期谱 k 或 (3)离散、非周期信号 频谱特点：频谱特点： 周期为周期为2 2 的连续谱的连续谱 k 或 (4)离散、周期信号 频谱特点：频谱特点： 周期为周期为N N的离散谱的离散谱 时域周期化，则频域离散化； 时域离散化，则频域周期化。 以上4种形式的频谱分析都不能满足实际计算的 要求. 解决方法：离散傅立叶变换(DFT)。 结论 （1）混叠问题 时间 x Hz 频率 x Hz 0 Hz 0 Hz fs + x Hz fs 时间 频率 时间 频率 时间 频率 ? ? fs fs 频域解释 0 t0f 0 t0f t 0 0f 则在离散信号谱 这种现象称为频率混叠或混频。 如果原信号x(t)中包含的最高频率成分 中相应周期的谱会出现重叠， （1）混叠问题 为混叠频率或Nyquist频率。即不产生频率混淆 现象的临界条件。 采样定理又可称为：如果分析信号中最高频率成分不 超过混叠频率，则不出现频率混叠。 反之，如果或 分析信号中最高频率成分的两倍，或在分析信号最高频率成 分一个周期内至少采样两点，则采样后离散信号频谱中不会 出现频率混叠。这就是采样定理。 或即采样频率大于等于 余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏 余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏 （2）泄漏问题(Leakage) 在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔 内，也就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间 窗，亦即用时间窗函数乘以信号，即 由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，则有 有时会造成能量分散现象，称之为频谱泄漏频谱泄漏。 （2）泄漏问题(Leakage) 对于连续周期函数，在符合采样定理的条 件下，保证窗函数b(t)的时段等于被截函数 的周期T的整倍整倍数，可以保证逆变换后准确 地恢复原波形，不产生泄漏。 对于随机振动信号（非周期函数），控制 泄漏的方法是采用特定的窗函数，以达到 控制旁瓣的效果。 （2）泄漏问题(Leakage) 常用窗函数 (1) 矩形窗(Rectangular) w(t)=1 (2) 汉宁窗(Hanning) w(t)=1-cos(2t/T), (3) 凯塞窗(Kaiser-Bessel) w(t)=1-2.4 cos(2t/T)+0.244 cos(4t/T)-0.00305 cos(6t/T) (4) 平顶窗（FlatTop） w(t)=1-1.93 cos(2t/T)+1.29 cos(4t/T)-0.388 cos(6t/T) +0.0322 cos(8t/T) 窗函数用法 矩形窗：瞬态信号、伪随机或周期随机、 窗长等于周期信号整周期时 汉宁窗：纯随机 平顶窗：周期或准周期信号 力窗或指数衰减窗：锤击法测频响函数时 的力信号和脉冲响应信号 为提高效率,通常采用FFT算法计算信号频谱 ，设数据点数为N，采样频率为Fs。则计算得到的 离散频率点为: Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i = 0，1，2，.，N/2 X(f) f 0 f 如果信号中的频 率分量与频率取样点 不重合，则只能按四 舍五入的原则，取相 邻的频率取样点谱线 值代替。 （3）栅栏效应 栅栏效应误差实验： 栅栏效应与窗函数 频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖 锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率 与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为 无穷大。 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄 漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到 该频率分量的一个近似值。 从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果 没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅 栏效应误差将是不能接受的。 栅栏效应与窗函数 能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减 小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一 面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。 栅栏效应与窗函数 一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困 难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号 f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信 号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-t= Fb(+j)= f(t) e-t= 令s = + j,d =ds/j，有 拉普拉斯变换的物理意义 从物理意义上来说，拉普拉斯变换是把函数分解成无穷 多个形式为est的指数分量之和。 复频率s=+j可以方便地表示在一个复平面( s 平面)，如 下图： 一、微分方程的变换解(以一个二阶微分方程为例） 初始状态 对方程两边取拉普拉斯变换： 设时接入的 初始状态 特征多项式 特征多项式 零输入响应 的象函数 零状态响应 的象函数 即 例1 描述某LTI连续系统的微分方程为 已知输入 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应 解：对微分方程取拉普拉斯变换，有 整理得 即 例2 描述某LTI连续系统的微分方程为 已知输入 求 和 。 解： 所以，只要先求出零状态响应即可。 由0+求0-值的问题 由上题 在上一讲从时域角度讨论了系统全响应中 的自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应 的概念。这里再从S域来讨论，进一步明确零输 入、零状态与自由响应和强迫响应的函数形式 之间的关系。 例3 描述某LTI系统的微分方程为 已知初始状态 激励 ，求系统的零输入,零状态,全响应 解： 本例中，系统的特征根均为负值，所以自由响 应就是瞬态响应。激励函数的单极点的实部为0 ，强迫响应就是稳态响应。 一般而言：系统特征根的实部均为负，自由响应是 衰减的，这时自由响应就是瞬态响应。 若 的极点为单极点且实部为零，强迫响应为等幅 振荡或阶跃函数的形式。这时强迫响应就是稳态响 应。 瞬态响应 稳态响应 1、自由响应象函数的极点等于系统的特征根。 2、系统强迫响应的象函数的极点就是 的极点， 因而其形式由激励确定。 1、自由响应象函数的极点等于系统的特征根 2、系统强迫响应的象函数的极点就是 的极点， 因而其形式由激励确定。 可见： 3、零输入响应象函数的极点等于系统的特征根。 4、零状态响应象函数的极点除系统的特征根外还 有激励的极点两部分。 二、系统函数 系统零状态响应的象函数与激励的象函数 之比，称为系统函数。用 表示。 系统函数： 初始状态 特征多项式 它仅与系统的结构，元 件参数有关，而与激励及 初始状态无关。 由系统的微分方程很容易写出 。反之由 很容易写出微分方程。 例4 已知某LTI系