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专题08 探究归纳问题(精讲)-2019年中考数学高频考点突破(解析版)

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专题08 探究归纳问题(精讲)-2019年中考数学高频考点突破(解析版)

【课标解读】所谓探究性问题,是指问题的条件或结论尚不明确,需通过探究去补充条件或完善结论的一类问题.【解题策略】从讨论问题入手分析解决办法进行实验探究综合分析问题得到结论 【考点深剖】考点一 三角形综合探究【典例1】(2018湖北江汉10分)问题:如图,在RtABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为 ;探索:如图,在RtABC与RtADE中,AB=AC,AD=AE,将ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;应用:如图,在四边形ABCD中,ABC=ACB=ADC=45若BD=9,CD=3,求AD的长【解答】解:(1)BC=DC+EC,理由如下:BAC=DAE=90,BACDAC=DAEDAC,即BAD=CAE,在BAD和CAE中,BADCAE,BD=CE,BC=BD+CD=EC+CD,故答案为:BC=DC+EC;(3)作AEAD,使AE=AD,连接CE,DE,BAC+CAD=DAE+CAD,即BAD=CAD,在BAD与CAE中,BADCAE(SAS),BD=CE=9,ADC=45,EDA=45,EDC=90,DE=6,DAE=90,AD=AE=DE=6考点二 四边形综合探究【典例2】(2018江苏镇江9分)(1)如图1,将矩形ABCD折叠,使BC落在对角线BD上,折痕为BE,点C落在点C处,若ADB=46,则DBE的度数为 (2)小明手中有一张矩形纸片ABCD,AB=4,AD=9【画一画】如图2,点E在这张矩形纸片的边AD上,将纸片折叠,使AB落在CE所在直线上,折痕设为MN(点M,N分别在边AD,BC上),利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线段描清楚);【算一算】如图3,点F在这张矩形纸片的边BC上,将纸片折叠,使FB落在射线FD上,折痕为GF,点A,B分别落在点A,B处,若AG=,求BD的长;【验一验】如图4,点K在这张矩形纸片的边AD上,DK=3,将纸片折叠,使AB落在CK所在直线上,折痕为HI,点A,B分别落在点A,B处,小明认为BI所在直线恰好经过点D,他的判断是否正确,请说明理由【解答】解:(1)如图1中,四边形ABCD是矩形,ADBC,ADB=DBC=46,由翻折不变性可知,DBE=EBC=DBC=23,故答案为23学科*网(2)【画一画】,如图2中,【算一算】如图3中,由翻折不变性可知,BFG=DFG,DFG=DGF,DF=DG=,CD=AB=4,C=90,在RtCDF中,CF=,BF=BCCF=,由翻折不变性可知,FB=FB=,DB=DFFB=3【验一验】如图4中,小明的判断不正确理由:连接ID,在RtCDK中,DK=3,CD=4,CK=5,ADBC,DKC=ICK,由折叠可知,ABI=B=90,IBC=90=D,CDKIBC,=,即=,考点三 图形变换综合探究【典例3】(2018临沂)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0360),得到矩形AEFG(1)如图,当点E在BD上时求证:FD=CD;(2)当为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由【分析】(1)先运用SAS判定AEDFDE,可得DF=AE,再根据AE=AB=CD,即可得出CD=DF;(2)当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据DAG=60,即可得到旋转角的度数【解答】解:(1)由旋转可得,AE=AB,AEF=ABC=DAB=90,EF=BC=AD,AEB=ABE,(2)如图,当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论:当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于M,当点G在AD左侧时,同理可得ADG是等边三角形,DAG=60,旋转角=36060=300学科*网考点四 圆的综合探究【典例4】(2018湖北恩施10分)如图,AB为O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BEAB,OEAD交BE于E点,连接AE、DE、AE交CD于F点(1)求证:DE为O切线;(2)若O的半径为3,sinADP=,求AD;(3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明【解答】证明:(1)如图1,连接OD、BD,BD交OE于M,AB是O的直径,ADB=90,ADBD,OEAD,OEBD,BM=DM,OB=OD,BOM=DOM,OE=OE,BOEDOE(SAS),ODE=OBE=90,DE为O切线;(2)设AP=a,sinADP=,AD=3a,PD=2a,OP=3a,OD2=OP2+PD2,32=(3a)2+(2a)2,9=96a+a2+8a2,a1=,a2=0(舍),当a=时,AD=3a=2,AD=2;【讲透练活】变式1:(2016浙江省湖州市3分)如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得DAC=ACD如图3,将ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED则BE的长是()A4 B C3D2【考点】翻折变换(折叠问题);四点共圆;等腰三角形的性质;相似三角形的判定与性质【分析】只要证明ABDMBE,得=,只要求出BM、BD即可解决问题DAM=DAC=DBA,ADM=ADB,ADMBDA,=,即=,DM=,MB=BDDM=,ABM=C=MED,A、B、E、D四点共圆,ADB=BEM,EBM=EAD=ABD,ABDMBE,=,BE=来源:学_科_网Z_X_X_K故选B变式2:(2018湖北咸宁10分)定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解:(1)如图1,已知RtABC在正方形网格中,请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D,使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹,找出3个即可);(2)如图2,在四边形ABCD中,ABC=80,ADC=140,对角线BD平分ABC求证:BD是四边形ABCD的“相似对角线”;(3)如图3,已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”,EFH=HFG=30,连接EG,若EFG的面积为2,求FH的长【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)FH=2【详解】(1)由图1知,AB=,BC=2,ABC=90,AC=5,四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形,当ACD=90时,ACDABC或ACDCBA,或,CD=10或CD=2.5同理:当CAD=90时,AD=2.5或AD=10,(2)ABC=80,BD平分ABC,ABD=DBC=40,A+ADB=140ADC=140,BDC+ADB=140,A=BDC,ABDBDC,BD是四边形ABCD的“相似对角线”;变式3:(2018浙江宁波14分)如图1,直线l:y=x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0AC)以点A为圆心,AC长为半径作A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交A于点F(1)求直线l的函数表达式和tanBAO的值;(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,求证:OCEOEA;求点E的坐标;(3)当点C在线段OA上运动时,求OEEF的最大值【考点】待定系数法,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理【解答】解:直线l:y=x+b与x轴交于点A(4,0),4+b=0,b=3,直线l的函数表达式y=x+3,B(0,3),OA=4,OB=3,在RtAOB中,tanBAO=;(2)如图2,连接DF,CE=EF,CDE=FDE,CDF=2CDE,OAE=2CDE,OAE=ODF,四边形CEFD是O的圆内接四边形,OEC=ODF,OEC=OAE,COE=EOA,COEEOA,过点EOA于M,由知,tanOAB=,设EM=3m,则AM=4m,OM=44m,AE=5m,E(44m,3m),AC=5m,OC=45m,由知,COEEOA,OE2=OAOC=4(45m)=1620m,E(44m,3m),(44m)2+9m2=25m232m+16,25m232m+16=1620m,m=0(舍)或m=,44m=,3m=,(,),连接FH,EH是O直径,EH=2r,EFH=90=EGO,OEG=HEF,OEGHEF,OEEF=HEEG=2r(r)=2(r)2+,r=时,OEEF最大值为学科*网变式4:(2018浙江衢州12分)如图,RtOAB的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为(6,8),直线CD交AB于点D(6,3),交x轴于点C(12,0)(1)求直线CD的函数表达式;(2)动点P在x轴上从点(10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得PDA=B?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值【考点】一次函数、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理【解答】解:(1)设直线CD的解析式为y=kx+b,则有,解得,直线CD的解析式为y=x+6(2)如图1中,作DPOB,则PDA=BDPOB, =, =,PA=,OP=6=,P(,0),根据对称性可知,当AP=AP时,P(,0),满足条件的点P坐标为(,0)或(,0)如图2中,当OP=OB=10时,作PQOB交CD于Q

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