专题16 函数几何问题（精讲）-2019年中考数学高频考点突破（解析版）

【课标解读】函数与几何综合问题最大的特点就是“数”与“形”相互结合、相互渗透，中考压轴题中函数之二次函数的几何应用问题，主要是解答题，常见问题有以三角形为背景问题，以四边形为背景问题和以圆为背景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。【解题策略】从函数性质入手探索函数与其它的关系综合应用解决相关问题得出结论 【考点深剖】考点一 以三角形为背景的函数综合题【典例1】（2018山东枣庄10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MDx轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据SAMN=SABNSBMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可【解答】解：（1）二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），解得抛物线表达式：y=x2+x+4；（3）A（0，4），C（8，0），AC=4，以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8，0），以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（84，0）或（8+4，0）作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（8，0）、（84，0）、（3，0）、（8+4，0）（4）如图，设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MDx轴于点D，MDOA，BMDBAO，=，MNAC=，=，当AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）学科&网考点二 以四边形为背景的函数综合题【典例2】（2018山东威海12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，MN为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线过点A（4，0），B（2，0）设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x2）把C（0，4）带入得4=a（0+4）（02）a=抛物线表达式为：y=（x+4）（x2）=x2x+4（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=1线段BC的中垂线与对称轴l交于点D点D在对称轴上设点D坐标为（1，m）过点C做CGl于G，连DC，DBDC=DB在RtDCG和RtDBH中DC2=12+（4m）2，DB2=m2+（2+1）212+（4m）2=m2+（2+1）2解得：m=1点D坐标为（1，1）设P的半径为r，P与直线BC和EF都相切如图：当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1P1Q1E=P1R1E=R1EQ1=90四边形P1Q1ER1是正方形ER1=P1Q1=r1同理，当圆心P2在直线BC右侧时，可求r2=，OP2=7P2坐标为（7，0）点P坐标为（，0）或（7，0）（4）存在当点P坐标为（，0）时，若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP当x=时，y=DN=MP=点N坐标为（1，）若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等则点M横坐标为则M纵坐标为由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离当点N在D点上方时，点N纵坐标为此时点N坐标为（1，）当点N在x轴下方时，点N坐标为（1，）当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在故答案为：（1，）、（1，）、（1，）。学科&网考点三 以相似三角形为背景的函数综合题【典例3】（2018湖南省常德10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标（3）设Q（m，m2m），根据相似三角形的判定方法，当=时，PQOCOA，则|m2m|=2|m|；当=时，PQOCAO，则|m2m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标【解答】解：（1）抛物线过原点，对称轴是直线x=3，B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x6），把A（8，4）代入得a82=4，解得a=，抛物线解析式为y=x（x6），即y=x2x；把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=2t，直线MN的解析式为y=2x2t，解方程组得，则N（t，t），SAMN=SAOMSNOM=4ttt=t2+2t=（t3）2+3，当t=3时，SAMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，m2m），OPQ=ACO，当=时，PQOCOA，即=，PQ=2PO，即|m2m|=2|m|，解方程m2m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；解方程m2m=2m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，4）；考点四 以圆为背景的函数综合题【典例4】（2018浙江宁波14分）如图1，直线l：y=x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0AC）以点A为圆心，AC长为半径作A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交A于点F（1）求直线l的函数表达式和tanBAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，求证：OCEOEA；求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OEEF的最大值【考点】待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）先判断出CDF=2CDE，进而得出OAE=ODF，即可得出结论；设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论【解答】解：直线l：y=x+b与x轴交于点A（4，0），4+b=0，b=3，直线l的函数表达式y=x+3，B（0，3），OA=4，OB=3，在RtAOB中，tanBAO=；过点EOA于M，由知，tanOAB=，设EM=3m，则AM=4m，OM=44m，AE=5m，E（44m，3m），AC=5m，OC=45m，由知，COEEOA，OE2=OAOC=4（45m）=1620m，E（44m，3m），（44m）2+9m2=25m232m+16，25m232m+16=1620m，m=0（舍）或m=，44m=，3m=，（，），连接FH，EH是O直径，EH=2r，EFH=90=EGO，OEG=HEF，OEGHEF，OEEF=HEEG=2r（r）=2（r）2+，r=时，OEEF最大值为【讲透练活】变式1：（2018山东淄博9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，），O为坐标原点（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且nm，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求BOC的大小及点C的坐标【考点】HF：二次函数综合题【解答】解：（1）把点A（1，），点B（3，）分别代入y=ax2+bx得解得y=（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=当x时，y随x的增大而减小当t4时，nm（3）如图，设抛物线交x轴于点F分别过点A、B作ADOC于点D，BEOC于点E变式2：（2018山东泰安11分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，2），连接AE（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DGx轴，交AE于点F，表示ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DNx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如图设D（m，），则点F（m，），DF=（）=，SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH=DFAG+DFEH=4DF=2（）=，当m=时，ADE的面积取得最大值为变式3：（2018新疆生产建设兵团13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2x4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ面积最大时，在BC下方的抛