北京市西城区2017年高三4月统一测试（一模）数学文答案.pdf
第 5 页 共 10 页 西城区高三统一测试 高三数学（文科）（文科）参考答案及评分标准 2017.4 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1A 2D 3C 4B 5B 6C 7B 8C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9 | 0 x x，且1x 10 1 2 11(1,1)；2 12 2 135； 4 5 14 4 4 注：第注：第 11，13 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分. 三、解答题：本大题共 三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分） 解： （）设等比数列 n a的公比为q，由题意得 3 4 1 8 a q a ， 解得 2q 2 分 所以 11 1 3 2(1,2,) nn n aa qn 4 分 设等差数列 nn ab的公差为d，由题意得 4411 ()()164 4 4 13 abab d 6 分 所以 11 ()(1)4 nn ababndn 8 分 从而 1 43 2(1,2,) n n bnn 9 分 （）由（）知 1 43 2(1,2,) n n bnn 数列4 n的前n项和为2 (1)n n；数列 1 3 2 n 的前n项和为3 (21) n 12 分 所以，数列 n b的前n项和为 2 223 23 n nn 13分 第 6 页 共 10 页 16 （本小题满分 13 分） 解： （） 由 tan2 sinaCcA， 得 sin 2sin cos aC A cC 1 分 由正弦定理得 sinsin 2sin sincos AC A CC 3 分 所以 1 cos 2 C 4 分 因为 (0,)C， 5 分 所以 3 C 6 分 （） sinsinAB 2 sinsin() 3 AA 7分 33 sincos 22 AA 9 分 3sin() 6 A 11 分 因为 3 C ， 所以 2 0 3 A， 12 分 所以 当 3 A时，sinsinAB取得最大值3 13 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 4 分 所以，估计120人中有120 0.224人答对第5题 5 分 （）记编号为i的学生为(1,2,3,4,5) i A i ， 从这 5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有 10 种 其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为 12 (,)A A， 13 (,)A A， 14 (,)A A， 25 (,)A A， 35 (,)A A， 45 (,)A A，共6 种 9 分 所以， 从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生， 恰好有1人答对第5题 的概率为 63 105 P 10分 第 7 页 共 10 页 （） i P为抽样的10名学生中第i题的实测难度，用 i P作为这120名学生第i题的实测难度 22222 1(0.8 0.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4) 5 S 0.012 12 分 因为 0.0120.05S ， 所以， 该次测试的难度预估是合理的 13 分 18 （本小题满分 14 分） 解： （）因为PA平面ABCD， 所以PABC 1 分 因为ABCD为正方形， 所以ABBC， 2 分 所以BC 平面PAB 3 分 所以平面PAB 平面PBC 4 分 （）连接AF 5 分 因为 PC 平面AEFG， 所以 PCAF 7 分 又因为 PAAC， 所以 F是PC的中点 8 分 所以 1 2 PF PC 9 分 （）AE与平面PCD不可能平行 10 分 证明如下： 假设/AE平面PCD， 因为 /AB CD，AB 平面PCD 所以 /AB平面PCD 12 分 而 AEAB ， 平面PAB， 所以 平面/PAB平面PCD，这显然矛盾！ 13 分 所以假设不成立， 即AE与平面PCD不可能平行 14 分 第 8 页 共 10 页 19 （本小题满分 14 分） 解：（）设椭圆C的半焦距为c依题意，得 1 2 c a ，3ac 2 分 解得 2a ，1c 所以 222 3bac， 所以椭圆C的方程是 22 1 43 xy 5 分 （）解法一：由（）得 ( 2,0)A 设AP的中点 00 (,)M xy， 11 ( ,)P x y 设直线AP的方程为：(2) (0)yk xk，将其代入椭圆方程，整理得 2222 (43)1616120kxk xk， 7 分 所以 2 1 2 16 2 43 k x k 8 分 所以 2 0 2 8 43 k x k ， 00 2 6 (2) 43 k yk x k ， 即 2 22 86 (,) 43 43 kk M kk 9 分 所以直线OM的斜率是 2 2 2 6 3 43 84 43 k k kk k ， 10 分 所以直线OM的方程是 3 4 yx k 令4x ，得 3 (4,)D k 11 分 由(1,0)F，得直线DF的斜率是 3 1 4 1 k k ， 12 分 因为OEDF，所以直线OE的斜率为k， 13 分 所以直线/OE AP 14 分 解法二：由（）得 ( 2,0)A 设 111 ( ,) (2)P x yx ，其中 22 11 34120 xy 因为AP的中点为M，所以 11 2 (,) 22 xy M 6 分 所以直线OM的斜率是 1 1 2 OM y k x ， 7 分 所以直线OM的方程是 1 1 2 y yx x 令4x ，得 1 1 4 (4,) 2 y D x 8 分 第 9 页 共 10 页 由(1,0)F，得直线DF的斜率是 1 1 4 3(2) DF y k x 9 分 因为直线AP的斜率是 1 1 2 AP y k x ， 10 分 所以 2 1 2 1 4 1 3(4) DFAP y kk x ， 12 分 所以 APDF 13 分 因为 OEDF， 所以 /OE AP 14 分 20 （本小题满分 13 分） 解： （） 对( )f x求导数，得( )exfxx， 1 分 所以切线l的斜率为 0 00 ()exxfx， 2 分 由此得切线l的方程为： 00 000 2 ( 1 (e 2 )e() xx xxxyx， 即 00 00 2 0 (e)(1) 1 e 2 xx xxyxx. 3分 （） 由（）得，直线l在y轴上的截距为 0 0 2 0 (1) 1 e 2 x xx 4 分 设 2 ( )(1) 1 e 2 x g xxx， 1,1x 所以 ( )(1e ) x g xx，令( )0g x，得0 x ( )g x，( )g x的变化情况如下表： x 1 ( 1,0) 0 (0,1) 1 ( )g x 0 ( )g x 21 e2 1 1 2 所以函数( )g x在 1,1上单调递减， 6 分 所以 max 21 ( )( 1) e2 g xg， min 1 ( )(1) 2 g xg， 所以直线l在y轴上的截距的取值范围是 1 21 , 2 e2 8 分 第 10 页 共 10 页 （）过M作x轴的垂线，与射线1yx交于点Q， 所以MNQ是等腰
