控制理论(状态空间表达式).

第 一 章 控控 制制 系系 统统 状状 态态 空空 间间 表表 达达 式式 §1-1 §1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 §1-0 §1-0 概述概述 §1-2 §1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 §1-3 §1-3 状态向量的线性变换状态向量的线性变换 § §1-4 1-4 从状态空间表达式求系统传递函数阵从状态空间表达式求系统传递函数阵 §1-5 §1-5 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统状态空间表达式 § §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式 §1-1 §1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 §1-0 §1-0 概述概述 §1-0 §1-0 概概 述述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 §1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 §1 0 概 述 在经典控制理论中，对一个线形定常系统，可用 常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作 为输出，直接和输入联系起来实际上系统除了输出 量这个变量之外，还包含有其他独立变量，而微分方 程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描述的， 因而不能包含系统的所有信息 在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是 用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的它能 反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系 统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始 条件这样，在设计控制系统时，不再只局限于输入 量，输出量，误差量，为提高系统性能提供了有力的 工具 §1-0 §1-0 概概 述述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 §1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变 量为状态变量.一个用n阶微分方程描述的系统,就有n 个独立变量,当n个独立变量的时间响应都求得时,系 统的运动状态就被揭示无疑了.因此可以说该系统的 状态变量就是n阶系统的n个独立变量. 一状 态 变 量 § §状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 同一系统中,究竟选取哪些变量作为独立变量,这 不是唯一的,重要的是这些变量应该是相互独立的,且 其个数应等于微分方程的阶数;又由于微分方程的阶 数唯一的取决于系统中独立储能元件的个数,因此状 态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数. 状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个 数又是最小的一组变量，当其在t=to时刻的值已知， 则在给定tto时间的输入作用下，便能完全确定系 统在任何tto时间的行为 众所周知，n阶微分方程式要有唯一的解，必须 知道n个独立的初始条件，很明显，这个独立的初始 条件就是一组状态变量在初始时刻的值 二状态矢量 如果n个状态变量用X1(t),X2(t), ,Xn(t)表示，并 把这些状态变量看作是矢量X(t)的分量，则X(t)就称 为状态矢量 三.状态空间 以状态变量 为坐标轴所构成的n维 空间，称为状态空间 四. 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为 系统的状态方程 五. 输出方程 在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间 的函数关系式,称为系统的输出方程. 六. 状态空间表达式 状态方程和输出方程总和起来,构成对一个系统 完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式. 根据函数向量的不同情况，一般控制系统可以分 为如下四种： 线性定常(时不变)系统 线性时变系统； 非线性定常系统； 非线性时变系统。 在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。 这时，系统的动态方程可以表示如下: 单输入单输出定常系统，其状态变量为 则状态方程的一般形式为： 输出方程： 用向量矩阵表示状态空间表达式则为： 对于一个复杂系统，具有r个输入，m个输出， 此时状态方程和输出方程变为： 写成矢量矩阵形式: 上式中，Anxn称为系统矩阵，Bnxr称为 输入(或控制)矩阵。A由系统内部结构及其 参数决定，体现了系统内部的特性，而B则 主要体现了系统输入的施加情况。 Cmxn矩阵称为输出矩阵，它表达了输 出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称 为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接转 移到输出变量Y的转移关系。 将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为 如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。 和经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信 号的传递关系 §1-0 §1-0 概概 述述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 §1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 §状态空间表达式的建立 用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系 统的状态空间表达式这个表达式一般可以从三 个途径求得：一是由系统方块图 来建立，即根据 系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空间 表达式；二是从系统的物理或化学的机理 出发进 行推导；三是由描述系统运动过程的高阶微分方 程或传递函数 予以演化而得 一从系统方块图出发建立状态空间表达式 三个步骤： 第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通 过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器 （1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组 成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形 式组成整个控制系统。 第二步：将上述变换过的方块图中的每个标准积 分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分 器的输入端就是状态变量的一阶导数 。 第三步：根据变换过的方块图中各信号的关系，可 以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统 的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块 图写出系统的输出方程。 【例1-1】某控制系统的方块图如下图所示，试求出 其动态方程。 解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组 成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转 化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。 上图所示方块图经等效变换后如下图所示： 我们取每个积分器的输出端信号为状态变量 积分器的输入端即 从图可得系统状态方程： 取y为系统输出，输出方程为： 写成矢量矩阵形式，我们得到系统动态方程： 二 . 从系统的机理 出发建立状态空间表达式 一般控制系统可分为电气、机械、机电、气 压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运 动的数学模型（微分方程、传递函数、动态方程 等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一 定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并 利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压 电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动 态方程模型。 【例1-2】 RLC电路如下图所示. 以ei作为系统的 控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的 动态方程。 解: 该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，可以取 电容C两端电压和流过电感L的电流 作为系统的两个状 态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和 R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程： 整理得： 写成矢量形式为： 这就是如图2-3所示RLC电网络的动态方程。 【例1-3】 多输入多输出系统（MIMO） 如图2-5所示机 械系统,质量 各受到 的作用，其相对静平衡 位置的位移分别为 。 解:根据牛顿定律，分别对 进行受力分析，我 们有： 取 为系统四个状态变量 ， 为系统两个控制输入 ， 则有状态方程： 如果取 为系统的两个输出，即： 写成矢量矩阵形式，得系统的状态空间表达式： 【例1- 4】下图是直流电动机的示意图.图中R和L分别 为电枢回路的电阻和电感,J为机械旋转部分的转动惯 量,B为旋转部分的粘性摩擦系数.列写该图在电枢电压 作为控制作用时的状态空间表达式. M J 。 。 解：电感和转动惯量是储能元件，相应的物理 变量电流 i 和旋转速度 w是相互独立的，可选择为 状态变量即 则 由电枢回路的电路方程，有 由动力学方程有 由电磁感应关系有 式中为反电动势； 转矩常数和反电动势常数 整理得： 把代入，有 若指定角速度为输出，则 若指定电动机的转角为输出，则上述两个状态变量 不足以对系统的时域行为加以全面描述，必须增添 一个状态变量 则 于是，状态方程为 输出方程为 三 . 由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数 出发建立状态空间表达式 从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可 以用下列线性微分方程表示： 其传递函数就是 输出信号y(t) 的Laplace变换 Y(S)与输入信号u(t) 的Laplace变换U(S)之比，其形式 为如下S的有理分式： 由系统的传递函数求其状态方程的过程称为系统 的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输 入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间 表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统 的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。 考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是 一个n阶线性常系数微分方程 相应的传递函数为 所谓实现问题，就是根据以上两式寻求如下状态 空间表达式 并非任意的微分方程或传递函数都能求得其实现， 实现的存在条件是 ，当 时， ， 而当 时 在这种情况下，传递函 数可写成如下形式： 这意味着输出含有与输入直接关联的项 应该指出：从传递函数求得的状态空间表达式并 不是唯一的 一传递函数中没有零点时的实现 此时，系统的微分方程为 相应的传递函数为 上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形 式可由相应的模拟结构图导出 将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称 为相变量，它是输出的各阶导数至于积分器的输入 ，显然就是个状态变量的导数 通过系统模拟结构图，我们可以列出系统的状态方程： 输出方程为 表示成矩阵形式为 式 【例1-4】系统的输入输出微分方程为 列写其状态方程和输出方程. 解:选 为状态变量即 可得: 写成矩阵方程: 二传递函数中有零点时的实现 此时，系统微分方程为 系统传递函数为 从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推 广到 n 阶 设待实现的系统传递函数为 因为 上式可变换为 - 令 则 对上式进行拉氏变换，可得 我们可以得到系统模拟结构图 图1 每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统状 态空间表达式： 表示成矩阵形式为 推广到 n 阶系统，系统的实现可以为： 式- 3 前面已经提到，实现是非唯一的，仍以式1-2-3的 传递函数为例系统另一种模拟结构图如下 从输入、输出关系看，二者是等效的，输入函数的 各阶导数作适当的等效移动，就可以用下图表示： 图2 图3 图4 容易求得其对应的传递函数为: 通过对多项式系数的比较,得: 所以 或记为 将图3中的每个积分器输出选作状态变量,得状态 空间表达式: 扩展到 n 阶系统,其状态空间表达式为: 或记为： 也可以用长除法求系数。 三多输入多输出系统微分方程的实现 以双输入双输出的三阶系统为例，设系统微分 方程为： 采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解 对每个方程积分 系统模拟结构图为