高三数学一轮复习 圆锥曲线的综合问题
第五节 圆锥曲线综合问题 最新考 纲 了解圆锥曲线的初步应用 高考热 点 以解答题的形式考查圆锥 曲 线与其他数学知识的交汇问 题,考查学生的逻辑思维能 力、运算能力,考查学生综 合运用数学知识解决问题的 能力. 1.解决圆锥曲线综合问题的基本思想和方法 2解答圆锥曲线综合问题,应根据曲线的几何特征 ,熟练运用圆锥曲线的知识,将曲线的几何特征转化为数 量关系(如方程、不等式、函数等),再结合代数知识解答, 要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论 思想和数形 结合思想等的应用 解决圆锥曲线综合问题的思路 1对于圆锥曲线的综合问题,在对题目内涵进行深刻 挖掘的基础上,应用整体思想,构建转化的“框架”,然后综 合利用代数手段解题 2圆锥曲线的定义是解决综合题的基础定义在本质 上揭示了平面上的动点与定点(或定直线)的距离满足某种特 殊关系,用数形结合思想去理解圆锥曲线中的参数(a,b,c ,e,p等)的几何意义以及这些参数之间的相互关系,进而通 过它们之间的关系组成题设条件的转化 3综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置关系, 因此要树立将直线与圆锥曲线方程联立,应用判别式、根与 系数的关系的意识 4圆锥曲线应用问题的解题关键是建立适当坐标系, 合理建立曲线模型,然后转化为相应的函数问题作出定理或 定性的分析与判断 例1 设F1、F2分别为椭圆 C: 1(ab0)的左、 右两个焦点若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点, 点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并 记为kPM、kPN时 求证:kPM·kPN是与点P位置无关的定值 题型一定点定值问题 思维提示 从特殊点入手,求出定点(定值),再 证明这个点(值)与变量无关; 直接推理计算,并在计算过程中消 去变量,从而得到定点、定值. 分析 设出M点的坐标,利用已知条件得到N的坐标 ,将kPM·kPN的值计算出来为定值即可 规律总结 在解决圆锥曲线的定点和定值问题时,应 灵活应用已知条件,巧设变量,在变形过程中应注意各变量 之间的关系,善于捕捉题目的信息,注意消元思想在解题中 的应用. 备考例题1 如图所示,M是抛物线y2x上的一定点 ,动弦ME,MF分别交x轴于A、B两点,且MAMB. 证明:直线EF的斜率为定值 题型二最值与范围问题 思维提示 正确理解圆锥曲线的定义、标准方程 ; 联立方程组,对有关参数进行讨论. 规律总结 求范围的方法同求最值及函数值域的方法 类似常见的解法有两种:几何法和代数法若题目的条件 和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来 解决,这就是几何法若题目的条件和结论能体现一种明确 的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最 值,这就是代数法求函数最值常用的代数法有配方法、判 别式法、均值不等式法及函数的单调性、有界性法. 题型三探索性问题 思维提示 对归纳 型问题,要通过观察、比较 、分析、抽象、概括、猜测来完成; 对存在性问题,从适合条件的结论 存在入手,找出一个正确结论即可. 分析 (1)根据F0F1F2中的|F0F1|、|F1F2|的值,解出a 、b、c的值,得出“果圆”的方程 (2)根据|A1A|B1B|得a、b、c的不等式,再利用c2a2 b2,将c用a、b代换,转化为关于a、b的不等式,求出的范 围 (3)假设存在直线,设为yt,与“果圆”方程联立,求出 弦中点的轨迹方程,判断是否为椭圆方程 规律总结 (1)探索性试题常见的题型有两类:一是 给出问题对象的一些特殊关系,要求解题者探索出一般规律 ,并能论证所得规律的正确性,通常要求对已知关系进行观 察、比较、分析,然后概括出一般规律二是只给出条件, 要求解题者论证在此条件下,会不会出现某个结论这类题 型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在” 等语句表述解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在 的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理 论证,若导致合理的结论,则存在性也随之解决;若导致矛 盾,则否定了存在性 (2)解决探索性问题应注意以下几点: 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若 结论正确则存在,若结论不正确则不存在 当条件和结论不唯一时要分类讨论 当给出结论而要推导出存在的条件时先假设成立,再 推出条件 当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,思维 开放,采用另外的途径. 题型四圆锥曲线与其他知识交汇的问题 思维提示 圆锥曲线的定义、方程及几何性质 ; 函数、不等式、数列及平面向量的有 关知识. 例4 抛物线C的方程为yax2(a0),过抛物线C上一 点P(x0,y0)(x00)作斜率为k1、k2的两条直线分别交抛物线C 于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同),且满足 k1k20(0且1) (1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (2)设直线AB上一点M,满足 .证明线段PM的 中点在y轴上; (3)当1时,若点P的坐标为(1,1)求PAB为钝 角时点A的纵坐标y1的取值范围 分析 (1)把抛物线转化为标准方程即可求得; (2)设出直线方程,与抛物线方程联立,利用根与系数 的关系求解; (3)利用平面向量的数量积来求解 规律总结 本题主要考查抛物线的几何性质、直线的 方程、平面向量、直线与曲线相交、两条直线的夹角等解析 几何的基础知识、基本思想方法和综合解题能力,在解决此 类综合题时要根据具体问题灵活选用有关的数学知识,正确 地构造不等式或方程,利用数形结合,设而不求,对称方法 及根与系数的关系来解决. 备考例题4 已知一列椭圆Cn:x2 1,0bn1, n1,2,.若椭圆Cn上有一点Pn,使Pn到右准线ln的距离dn是 |PnFn|与|PnGn|的等差中项,其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦 点 概念理解错误 例 直线l:yk(x )与双曲线x2y21(x0)相交 于A、B两点,则直线l的倾斜角的范围是_