大学物理11–1简谐振动讲述

大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 第11章 机械振动基础 1 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 1 111 11 简谐振动简谐振动 11.2 11.2 谐振动的合成谐振动的合成 *11.3 *11.3 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介 第11章 机械振动基础 2 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 振动 任一物理量在某一定值附近往复的 变化。 机械振动 物体在其稳定平衡位置附近所 做的往复运动。 周期和非周期振动 例如：一切发声体、心脏、海浪起伏、地 震以及晶体中原子的振动等. 其运动形式有直线、平面和空间振动。 1 111 11 简谐振动简谐振动 3 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 物体振动时, 若决定其位置的坐标按余弦 （或正弦）函数规律随时间变化,这样的振动 称为简谐振动。 谐振子 作简谐运动的物体。 简谐运动复杂振动 合成 分解 一、简谐振动 1 111 11 简谐振动简谐振动 4 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 弹簧振子的振动 产生振动的原因：弹性恢复力、惯性。 自由振动：物体只在弹性恢复力作用下所 作的振动。 5 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 （1）受力特点 线性恢复力 （2）动力学微分方程 令 6 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 简谐运动的微分方程 简谐运动的运动方程 速度 加速度 7 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 图线表示法 8 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 简谐运动的三项基本特征 讨论 9 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 1.振幅 2.周期、频率 弹簧振子周期 周期 图 二、简谐运动的振幅、周期、频率和相位 由初始条件决定。 10 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 周期 频率 角频率 周期和频率取决于振动系统本身的性质。 （2s 内振动的次数） 11 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 3.相位 物理意义 描述质点 t 时刻的运动状态。 相位在 内变化, 质点无相同的运动状态； 初相位 描述质点初始时刻的运动状态。 两个振动之间的相位之差 。 4.相位差 12 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 （1）对同一简谐运动，相位差可以给出两 运动状态间变化所需的时间。 13 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 x2超前 同步反相 （2）对于两个同频率的简谐运动，相位差 表示它们间步调上的差异。 14 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 利用初始条件 三、振幅和初相的确定 得 振幅和初相 15 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 例1 物体沿 x 轴作谐振动，振幅为12cm，周期 为2s，当 t = 0时，物体的坐标为6cm，且向x 轴 正方向运动，求(1)初相；(2) t=0.5s 时，物体的 坐标、速度和加速度；(3) 物体在平衡位置，且 向 x 轴负方向运动的时刻开始计时的初相， 并 写出运动方程。 解 设选向右为x轴的正方向，并设物体的运动 学方程为 16 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 又当 t=0 时：x0= 6cm，v0 0。 或 因为 v0 0，所以 运动学方程为 (1) 根据题意知：A=12cm, 17 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 负号表示 t=0.5s 时，物体的速度和加速度方 向皆与 x 轴正方向相反。 (2) t =0.5s 时，坐标、速度和加速度分别为 18 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 或因为v00，所以 运动学方程为 (3) 根据题意，当t=0时：x0=0，v0 0，将这些条 件代入运动学方程，得 19 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 l0 例2 一劲度系数为 k 的轻质弹簧, 上端固定, 下 端悬挂一质量为m的物体M。平衡是, 弹簧将伸 长一段距离st , 称为静止变形, 见图。如果再 用手拉物体, 然后无初速地释放。 解 以物体 M 为研究对象, 它 共受重力 P 和弹性回复力 f 两个力的作用。 试写出物体M的运动微分方程， 并确定它的运动规律。 20 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 当物体处于平衡位置时 l0 在运动过程中，物体所受 的合力FR为 21 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 根据牛顿第二定律，得 令 简谐振动 22 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 k1 k2 kk 即弹簧串联的等效劲度系数为 例3 一重为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，各弹 簧的劲度系数标明在图上, 求图示两种情况下， 系统沿竖直方向振动的固有频率。 解 对两弹簧串联情况，弹簧 的静止形变为 23 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 所以，系统的固有频率为 k1 k2 kk 同理，对两弹簧并联情况 24 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 例4 单摆的运动分析。 取逆时针方向为角位移的 正向，重力的切向力 在很小时， 故 l 摆球的切向加速度 25 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 由牛顿第二定律，得 或 与弹簧振子的微分方程比较 在角位移 很小时, 单摆的振动是简谐运动。 26 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 角频率 周期 频率 27 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 . . o c l 时刻 t, 复摆所受重力矩 摆角很小时， 故 例5 复摆的运动分析。 28 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 由转动定律 得 即 与弹簧振子的微分方程比较 当 很小时, 复摆的运动是简谐运动。 29 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 角频率 周期 频率 30 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 四、谐振动的能量 以弹簧振子为例 设弹簧原长处弹性势能为零 31 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 弹性回复力是保守力，作简谐振动的系 统机械能守恒。 机械能 动能 势能 32 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 平均动能 平均势能 谐振动在一个周期内的平均势能和平均 动能相等。 33 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 例6 杆OA的质量可忽略，杆的一端用铰链连接, 使杆在铅直 面内摆动，杆的另一端固定有质量 为 m 的摆球。当摆在铅直位置时,与摆连接的两 根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态, 假 定摆在小角度摆动时， 角按照余弦规律随时间变 化。试求当摆在铅直位置时 的固有频率。两根弹簧的劲 度系数均为k, 各种尺寸皆标 在图上。 k k l a 34 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 取水平面 MN 为重力零势 能面，则摆在最低位置时具有 的机械能 E1为 摆到达最大偏离位置时，速度为零，取弹 簧原长处为弹性势能的零势能点, 角很小时， 摆的机械能 E2 为 解 用机械能守恒定律较方便。 k k l a 35 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 根据机械能守恒定律，得 摆角很小时，摆的运动为谐振动，则 36 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 代入 (1) 式，得 37 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 五、谐振动的旋转矢量表示法 旋转的矢量 旋转矢量的 端点在 x 轴上的 投影点的运动为 简谐振动。 长度为A，以O 为原点作角速度为 的逆时针旋转。 38 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 t 时刻t=0 时刻 39 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 旋转矢量与谐振动的对应关系 的长度 谐振动的振幅 A 谐振动的角频率的角速度 谐振动的初相位 | t = 0 与 x 轴的夹角 40 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 例7 一音叉振动的角频率 =6.28×102rad/s，音 叉尖端的振幅为1.0mm。试用旋转矢量法求以下 三种情况的初相并写出运动方程 (1) 当t = 0时,音 叉尖端通过平衡位置向 x 轴正方向运动； (2) 当 t=0时, 音叉尖端在 x 轴的负方向一边且位移具有 最大值; (3) 当 t = 0时,音叉尖端在 x 轴的正方向 一边，离开平衡位置距离为振幅之半，且向平衡 位置运动 。 = 3/2 解 (1) 根据题意，t = 0时,旋转 矢量的位置如图所示。 41 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 = = /3 (2) t = 0时, 旋转矢量的位置如图所示。 (3) t = 0时,旋转矢量的位置如图所示。 42 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 例8 两质点沿 x 轴作同方向同振幅的谐振动, 其 周期均为5s，当t = 0时, 质点1在 处向 x 轴 负方向运动，而质点2在 -A处。试用旋转矢量法 求这两个谐振动的初相差, 以及两个质点第一次 经过平衡位置的时刻 。 解 两质点的谐振动方程分别为 43 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 向x轴负方向运动, 其旋转矢量 A1如图所示。 质点1在 t = 0 时， 由图得初相角 1 = /4 同理, 旋转矢量 A2 如图所示。 初相角 2 = 两质点的初相差 2 - 1 = - /4 = 3/4 质点2的相位比质点1的相位超前 3/4 。 44 大学物理 第三次修订本 第11章 机械振动基础 由图得，质点1第一次 经过平衡位置的时刻为 质点2第一次经过平 衡位置的时刻为 t1 = T/8 = 0.625s t2 = T/4 = 1.25s 45