一次同余方程组和孙子定理

二、一次同余方程组和孙子定理 一、物不知其数问题及其解法 一次同余方程组 和孙子定理 三、孙子定理的应用 一、物不知其数问题及其解法 大约在公元4世纪，我国南北朝时期有一部 著名的算术著作孙子算经，其中就有这样一 个物不知其数问题： “今有物， 不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？ 答曰：二十三”。 明朝程大位编著的算法统宗里记载 了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的： 三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知。 解答算式是： 70×221×315×2233， 233105×223. 上面解法的步骤及理由是： （1） 先在5与7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到 除以3余2的数。 5，7=35，35÷3=11（余2），（35×2）÷3=23（余1 ），而（70×2）÷3=46（余2），140符合条件。 （2）在3与7的公倍数中找除以5余3的数。 3，7=21，21÷5=4（余1），（21×3）÷5=12（余3 ），63就是符合条件的数。 （3） 在3与5的公倍数中找除以7余2的数。 3，5=15，15÷7=2（余1），（15×2）÷7=4（余2） ，30就是符合条件的数。 （4） 将上面得到的分别符合三个条件的三个数相加: 70×2+21×3+15×2=233。 7070（或（或140140）是）是5 5和和7 7的倍数，而的倍数，而3 3除余除余1 1（或余（或余2 2） 的数。的数。2121（或（或6363）是）是3 3和和7 7的倍数，而的倍数，而5 5除余除余1 1（或余（或余 3 3）的数。）的数。1515（或（或3030）是）是3 3和和5 5的倍数，而的倍数，而7 7除余除余1 1（ 或余或余2 2）的数。）的数。 233233是满足除以是满足除以3 3余余2 2、除以、除以5 5余余3 3和除以和除以7 7余余2 2的数的数 。 又又3,5,7=1053,5,7=105，233-2233-2××105=23105=23也是它的解，而也是它的解，而 且且2323105105。 2323是满足该题的最小解，是满足该题的最小解， 它的所有解为它的所有解为 X=105k+23(k=0,1,2, X=105k+23(k=0,1,2, ) )。 注释： 物不知其数问题及其解答，是我国古 代研究一次同余方程组并取得辉煌成果的经 典例证。 上面的解法中，总是先求出余1的数，再 求出余几的数，这种解法逐渐被总结为简洁 实用的求一术。物不知其数又名 秦 王暗点兵。 二、一次同余方程组和孙子定理 ,一次同余方程组 其解为 必定有解， 定理：设是两两互素的正整数,那 么对于任意整数 ， ， ，。 ，这里 证明:两两互素,所以 若一次同余方程组有解 方程若有解,则解数为1。 下证 由于 。 ，则。因为 两两互素 , ，这就证明了同余 , 所以满足 确实是同余方程组的解。 显然 ,即 的必存在 。 由 及就推出 是解 。 注释： (2) 孙子定理要求一次同余方程组的模 (1) 从孙子定理的算法思想来看,整个计算的 难点集中在求上,需要扩展的欧几里德算法 实现。当然在实际解题中,我们通常采用拼凑法 。 两两互素,如果出现了某两个模不互素的情形则 应该将其转化为模互素的情形下的等价的一次 同余方程组,再用孙子定理求解。 三、孙子定理的应用 孙子定理是数论中最重要的基本定理之一, 它实质上刻画了剩余系的结构.它的应用是非常 广泛的,在数学计算、保密通讯、测距和日常生 活中通常会用到。 陈景润初等数论I中有下列趣味问题： 甲、乙两港的距离不超过5000公里， 今有三只轮船于某天零时同时从甲港开往乙港 。 假定三只轮船每天24小时都是匀速航行， 若干天后的零时第一只轮船首先到达， 几天后的18时第二只轮船也到达， 再过几天后的8时第三只轮船也到达了。 假若每天第一只轮船走300公里， 第二只轮船走240公里， 第三只轮船走180公里， 问甲、乙两港实际距离是多少公里， 三只轮船各走了多长时间？ 乙 港 甲 港 00:00:00 18:00:00 08:00:00 解：设甲、乙两港距离公里。第二只轮船 18小时走的距离是公里，第三只轮船 8小时走的距离是公里。按照题意有 。因为 所以该一次同余方程组不能直接用孙子定理解 。 由于所以原一 次同余方程组与有相同的解。 此处 由于所以取 由 所以取 由 所以取根据孙子定理，我们得 所求率被衍母除后的最小正剩余为3300 答：甲、乙两港相距3300公里。第一 只轮船走11天，第二只轮船走13天18 小时，第三只轮船走18天8小时。 由于甲、乙两港距离不超过5000公里 ，所以实际距离为3300公里。又