简明电路分析基础_06电容元件与电感元件汇编

电电 路 分 析 基 础础 电路分析基础第六章 动态电路分析 第二部分 动态电路分析 六、电容元件与电感元件 七、一阶电路 八、二阶电路 九、冲击函数在动态电路分析中的应用 十、交流动态电路 电路分析基础课程内容介绍 电路分析基础第二部分：第六章 回 顾 本教材第一部分讨论了电阻电路的分析方法。包括：集总 电路模型、基尔霍夫定律、欧姆定律、以此为基础的各种分析 方法和等效变换方法。 电阻电路是用代数方程来描述的，这意味着：如果外加的 激励源（电压源或电流源）为常量，那么，在激励作用到电路 的瞬间，电路的响应也为某个常量。 即：电阻电路是“无记忆的”，或说是“即时的”(instantaneous)。 许多实际电路并不能只用电阻元件和电源元件来构成其模 型。在模型中往往不可避免地要包含电容元件和电感元件。 这两种元件的伏安关系都涉及对电流、电压的微分或积分 ，我们称这种元件为动态元件(dynamic element)。 电路分析基础第二部分：第六章主要内容 电路模型中出现动态元件的原因： （1）在实际电路中有意接入电容器、电感器等器件，这是 由于要求电路能够实现某种功能的需要，例如，电阻电路不能 完成滤波，必须利用动态元件才能实现这个功能。 （2）当信号变化很快时，一些实际器件已不能再利用电阻 模型来表示。例如，一个电阻器不能只用电阻元件来表示，而 必须考虑到磁场变化及电场变化的现象，在模型中应增加电 容、电感等动态元件；当信号变化很快时，晶体管也不能再用 电阻模型来表示。 动态电路：至少包含一个动态元件的电路。 电路只有电阻电路和动态电路两种类型！ 电路分析基础第二部分：第六章主要内容 动态电路的记忆性：动态电路在任一时刻的响应与激励的全 部过去历史有关。即使输入已不再起作用，但仍然有输出，因 为输入曾经作用过。也就是说，动态电路具有记忆性。 第二部分主要内容：主要讨论动态电路的分析，但只限于一 阶和二阶动态电路，共分五章。 回顾：在本书第一章中早已指出，两类约束是电路分析的基本 依据。基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路的连 接方式而与构成电路的元件性质无关，也就是说，无论是电阻 电路还是动态电路，都必须服从这两个定律。 本章主要内容：为解决动态电路的分析问题，必须知道电容 元件和电感元件的定义、伏安关系，并引入记忆、状态等概念 ，为动态电路的分析奠定基础。 电路分析基础第二部分：第六章 目录 第六章 电容元件与电感元件 1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质 2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态 3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质 4 电容的储能 10 非线性电感 5电感元件 11 电感器和电容器的模型 6 电感的伏安关系 12电路的对耦性 电路分析基础第二部分：6-1 1/4 6-1 电 容 元 件 电容器：把两块金属板用绝缘介质隔开，就可构成一个简单的 电容器。由于介质不导电，因此通电后，两块极板上能分别存 储等量的、极性相反的电荷。当电源撤走后，由于介质的阻挡 ，使两块极板上的电荷不能被中和而依靠电场力的作用而长久 地存储下去。因此，电容器是一种能存储电荷的器件。 电容元件：电路理论中的电容元件（capacitor），是对实际电 容的一种理想化，即只具有存储电荷从而在电容器中建立电场 的作用，而没有其它作用，不考虑介质的损耗等因素。 由极板间的电荷建立的电 场储藏着能量，因此，我们也 可以说电容器是一种能储存电 场能量的器件。 u(t ) q(t ) i(t)+ 理想电容器：是一种电荷与电压相约束的器件。 电路分析基础第二部分：6-1 2/4 电容元件的定义：一个二端元件，如果在任意时刻t，它的电 荷 q(t) 同它的端电压 u(t) 之间的关系可以用uQ平面上的一条 曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。 瞬时值：在某个时刻t，q(t) 和 u(t) 分别称为电荷和端电压在此 时的瞬时值。其他的关于时间的函数都可以这么说。 我们可以说电容元件的电荷瞬时值和电压瞬时值之间存在 一种代数关系。 u(t ) q(t ) i(t)+ 图6-1 电容元件符号 电路分析基础第二部分：6-1 3/4 注意关联参考方向：在图中所设定的 电流电压参考方向关系，也即电荷与电 流的参考方向关系称为关联参考方向。 线性非时变电容元件： 如果uq平面上的特性曲线 是一条过原点的直线，且不 随时间变化的电容元件。即 q(t) = Cu(t) （6-1） 电容容量：C为正常数，用来度量图形曲线的斜率，称为电容 （capacitance），C的国际单位为法拉（简称法，缩写F 或 f ）。 习惯上：我们通常将电容元件简称为电容，而且若不加申明 ，就是指线性非时变电容。 q(t) = Cu(t) u(t) q(t) u(t ) q(t ) i(t) + 电路分析基础第二部分：6-1 4/4 实际电容：除了存储电荷的特性外 ，还有一些漏电现象，那时因为介 质不可能为理想绝缘体，多少有一 点导电能力。 电容器的额定参数：一个电容器，除了标明它的电容量C外， 还需标明它的额定工作电压。因为，电容器两端电压越高，聚 集的电荷就越多，对应的电场电压就越大，而电容器介质的耐 压是有限的，过高的电压将使介质击穿而成为导体！ 电解电容器：有些电容器为进一步增大电容量，在介质内部填 充有固定的电解质，电解质决定了介质的耐压和漏电流还与所 加的电压极性有关。这些电容器称为电解电容器，电解电容器 除标明电容量和耐压外，还需标明“+”和“”极性。 因此，电容器模型是由电容 元件并联电阻元件组成的。 实际电容模型 电路分析基础第二部分：第六章 目录 第六章 电容元件与电感元件 1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质 2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态 3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质 4 电容的储能 10 非线性电感 5电感元件 11 电感器和电容器的模型 6 电感的伏安关系 12 电路的对耦性 电路分析基础第二部分：6-2 1/13 6-2 电容的伏安关系 虽然电容是根据qu关系来定义的，如（6-1）式所示，但 在电路分析中，我们感兴趣的往往是元件的 VAR，即 i-u 关 系。 设电容如图6-1所示，且设电流i(t)的参考方向箭头指向标注 q(t) 的极板，这意味着当 i(t) 为正值时，正电荷向这个极板聚集 ，因而电荷q(t)的变化率为正。于是，我们有 又设电压 u(t) 和 q(t) 参考方向一致，则对线性电容，得 q(t) = Cu(t) （6-3 ） 以（6-3）式代入（6-2）式，得 i(t) = dCu dt （6-4）= du(t) dt C i(t) = dq dt （6-2 ） u(t ) q(t ) i(t) + 电路分析基础第二部分：6-2 2/13 i(t) = dCu dt （6-4）= du(t) dt C 这就是电容的 VAR，其中涉及对电压的微分。显然，这一公式 在 u 和 i 参考方向一致的前提下才能使用。若 u 和 i 的参考方向 不一致，则 （6-4）式表明：在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压 的变化率。如果电压不变，那么 du /dt = 0 ，虽有电压，但电流 为零，因此，电容有隔直流的作用。 我们也可以把电容的电压 u 表示为电流 i 的函数。对（6-4 ）式积分可得 u(t) = （6-6 ） i()d C 1 t i(t) = （6-5 ） du(t )dt C u(t ) q(t ) i(t) + 电路分析基础第二部分：6-2 3/13 若我们只需了解在某个任意选定的初始时刻 t0 以后电容电 压与电流的关系情况，我们可以把（6-6）式写为 （6-7 ） i()d t t0 C 1 t = u(t0) t0 + i()d C 1 t t0 + u(t) = i()d C 1 t0 u(t) = （6-6 ） i()d C 1 t （6-6）式告诉我们：在某个时刻 t 电容电压 u 的数值并不取决 于该时刻电流 i 的值，而是取决于从 到 t 所有时刻的电流值 ，也就是说与电流全部过去历史有关。 这是因为电容是聚集电荷的元件，电容电压反映聚集电荷 的多寡，而电荷的聚集是电流从 到 t 长期作用的结果。 电路分析基础第二部分：6-2 4/13 也就是说：我们若知道了由初始时刻 t0 开始作用的电流 i(t) 以及 电容的初始电压u(t0)，就能确定 t t0 时的电容电压u(t)。 实际上：根据电容是聚集电荷的元件，（6- 4）式和（6-6）式分别从电荷的变化角度和 电荷积累的角度来描述电容的伏安关系。 例6-1 电容与电压源相接如图6-3(a)所示， 电压源电压随时间按三角波方式变化如图(b) ，求电容电流。 我们研究问题总有个起点，即总有一个起始时间 t0 ，那么 ，（6-7）式又告诉我们：没有必要去了解 t0 以前电流的情况， t0以前全部历史情况对未来产生的效果可以由 u(t0)，即电容的初 始电压来反映。 （6-7 ） i()d t t0 C 1 t u(t) = u(t0) t0 + u(t ) (a) + C=1F 电路分析基础第二部分：6-2 5/13 解：已知电压源两端电压u(t)，求电 流可以用（6-4）式。 u(t ) (a) + C=1F 从0.25到0.75ms期间，电压 u 由 +100V线性下降到 100V，其变 化率 = du(t) dt 200 0.5 ×103= 4×105 故知在此期间，电流 i = C du(t )dt = 4 ×105 ×10-6= 0.4 A O u(V) t(ms) 100V +100V 0.250.5 0.75 11.251.5 i(A) 0.4A +0.4A 电路分析基础第二部分：6-2 6/13 从0.75到1.5ms期间= du(t) dt 200 0.5 ×103= 4×105 故知在此期间i = C du(t) dt = 4 ×105 ×10 -6= 0.4 A O u(V) t(ms) 100V +100V 0.250.5 0.75 11.251.5 i(A) 0.4A +0.4A 电路分析基础第二部分：6-2 7/13 这种曲线称为波形图。 从本例图中可见，电容的电压波形和电流波形是不一样的 ，这个情况与电阻元件的情况是不同的，图(d)还给出了电容元 件上的功率波形图。 O i(A) t(ms ) 0.4 +0.4 0.511.5 O u(V) t(ms) 100V +100V 0.250.5 0.75 11.251.5 i(A) 0.4A +0.4A 电路分析基础第二部分：6-2 8/13 O p(W ) t(ms ) 图6-3 例6-1所示电容电路及电压、电流及功率波形图 O u(V) t(ms) 100 +100 0.250.5 0.75 11.251.5 wC(t) O u(V) t(ms) 100V +100V 0.250.5 0.75 11.251.5 i(A)