泰勒公式的展开及其应用论文_周波
泰勒公式的展开及其应用论文_周波 本科毕业论文（设计） Taylor公式的展开及其应用 学 院：数学与统计学院 专 业：数学与应用数学 班 级：应数121班 学 号：1207010258 学生姓名：周波 指导教师：吴奎霖老师 2016年06月10日 本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。 特此声明。 论文（设计）作者签名： 日期： 目录 摘要 . I ABSTRACT . II 前言 . II 第一章、预备知识 . 1 1.1TAYLOR公式 . 1 1.2不常见的TAYLOR余项 . 4 1.3TAYLOR公式展开的唯一性 . 5 1.4常见函数的展开式 . 6 1.5常见展开式的拓展 . 6 第二章、TAYLOR公式在数学分析上的应用 . 8 2.1利用TAYLOR公式求极限 . 8 2.2利用TAYLOR公式作导数的中值估计 . 9 2.3利用TAYLOR公式求极值 . 10 2.4利用TAYLOR公式求曲线的渐近方程 . 11 2.5利用TAYLOR公式证明不等式 . 14 第三章、在数学计算方面的应用. 17 3.1利用TAYLOR公式求近似值 . 17 3.2TAYLOR公式导出牛顿迭代法和欧拉法. . 18 3.3判定迭代法的收敛速度. . 19 第四章、在复变函数中的应用 . 22 4.1复变函数的LAURENT展开 . 22 4.2积分的计算 . 22 4.3TAYLOR公式判断正项级数的敛散性 . 24 结束语 . 26 参考文献 . 27 致谢 . 28 贵州大学本科毕业论文（设计） Taylor公式的展开及其应用 摘要 James Gray在1671年已经发现了Taylor公式的特例，不过当时并未明确提出,在41年后著名的英国数学家Brook·Taylor在他的一封信里首次公诉了这个公式,并计算出了这个多项式和真实的函数值之间的误差,Taylor公式也由此而得名.在1797年之前Lagrange最先提出了带有余项的现在形式的Taylor定理.伴随着科技的发展，越来越多的计算需要进行近似化或模拟化，合理的运用Taylor公式可以大大的减小这其中所产生的误差。 本文主要通过引入数学分析中的知识点Taylor展开的思想，采取举例分析的方法，对Taylor公式展开的特性及高等数学各个方面的应用进行了分析讨论(利用Taylor公式求极限、计算近似值、证明不等式、求曲线的渐近线方程、计算留数、判断级数的收敛和发散性、作导数的中值估计、计算极值) 关键词：Taylor公式；极限；近似值；不等式；渐近线 贵州大学本科毕业论文（设计） Abstract James Gray had found the special case of Taylor Formula in 1671, but he didnt clearly put it forward. Forty-one years later, famous British Mathematician Brook·Taylor made it known to the public in a letter and figure out the random error between the polynomial and its real functional value, from which Taylor Formula got its name. Before 1979, Lagrange is the earliest person to put forward the present form of Taylor Theorem with remainder. With the scientific and technological development, more and more calculations need to be approximated and simulated, which causes larger errors, but the reasonable use of Taylor Formula can greatly improve it. With illustrations, this paper analyzes and discusses the features of expanded Taylor Formula and applications in different areas in advanced mathematics by introducing expanded thought knowledge in mathematical analysis. (Using Taylor Formula to seek the limit, compute approximate value, prove in-equation, find curve asymptotic equations, compute residue, estimate convergence and divergence of series, evaluate derivative median and compute extreme value.) Key words: Taylor Formula; the limit; approximate value; in-equation; curve asymptotic line 贵州大学本科毕业论文（设计） 前言 早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。直至Taylor展开思想的提出：利用n次多项式来逼近函数f,而多项式具有形式简单，易于计算等优点。我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor公式成为高等数学的核心内容之一。本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Taylor公式的应用，本文最大的特点是让Taylor公式零散的应用系统化，进而加深大家对Taylor公式的认识和理解。 贵州大学本科毕业论文（设计） 第一章、预备知识 1.1Taylor公式 用多项式近似地表达一个给定函数的问题,不仅从计算的观点看是很必要的,而且从理论分析的角度看也是很有意义的,一般的函数不好处理,就常常用容易处理的简单函数近似地代替它,因此这种简单函数再过渡到原来的函数,这就是Taylor公式的基本思想. Taylor的定义:已知f(x)在x0处可微, 那么在x0附近存在 ? ? =? ?0 +? ?0 ?0 +? ?0 , 从上述公式可得知, 在?=?0附近用一次多项式? ?0 +? ?0 ?0 作近似值取代? ? 时, 其误差为?0的高阶无穷小量, 这时? ?0 +? ?0 ?0 的精确度对于?0来说只达到了一阶, 为了提高精确度, 必须考虑使用更高次数的多项式作逼近. 若函数? ? 在?0处?阶可导时, 有如下更精确的计算公式. 定理1.1.11(Peano余项的Taylor公式): 若函数? ? 在?0存在?阶导数, 则存在?0的一个邻域, 对于该邻域中的任一点?,成立 ? ?0 ?0 2+? ? ? =? ?0 +?0 ?0 +? ?0 +(?0)?+? ?0 ? ,(1) 上诉公式称为? ? 在?=?0处的带Peano余项的Taylor公式, 它的前?+1项组成,的多项式 ? ?0 ?0 2+? ? ? =? ?0 +?0 ?0 +? ?0 +(?0)?, 贵州大学本科毕业论文（设计） 称为? ? 的?次Taylor多项式,余项? ? =?( ?0 ?)称为Peano的余项. 证因为? ? =? ? ? ?=0? ?0 ?! ?0 ?, 所以只需证明? ? =? ?0 ? , 又因为? ?0 =? ?0 =? ?0 =?=?1 ?0 =0, 反复应用LHospital法则,则有: ? ? ? ?
