线面积分习题课(打印)

一、曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 思考 1.计算其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算 , 则 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示: 其中由平面 y = z 截球面 提示: 因在上有故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本技巧 例1. 已知 L的长度为a，求 解： 即3x2+4y2=12，所以 又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以 于是 I = 12a。 例2. 计算其中 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 利用重心公式知(的重心在原点) 例3. 计算 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, 解法1 令则 这说明积分与路径无关, 故 a 为半径的上半圆周. 解法2 它与L所围区域为D, (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例3 , 如何计算下述积分: (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分: 则添加辅助线段 思考题解答: (1) (2) 解：L：即 所以 例4. 计算 顺时针方向 L： 注： 应充分利用L的方程简化被积函数。 例5 设L是分段光滑的简单闭曲线，取正向，点（ 2，0）和（2，0）不在L上。计算 解： (x，y)(2，0)或(2，0) 22Ox D L（1）当点(2，0)和(2，0) 均在L所围区域D外时 （2）当点(2，0)和(2，0)一个在D内一个 在D外时， 不妨设(2，0)在D内而(2，0)在D外。 以(2，0)为圆心，充分小的正数为半径作圆L1， 取正向，则有： 22 x l1 L （3）当点(2，0)和(2，0)均在D内时 22 x L1L O L2 例6 设Q(x，y)具有连续的一阶偏导数，曲线积分 与路径无关，且对任意的实数t， 恒有 求Q(x，y)。 解：由积分与路径无关知 故 其中 为待定函数。 取折线作为积分路径 (t，1) (t，0) (0，0) 左端 由题设有 两端对t求导 所以 右端 (1，t) (1，0) (0，0) 先积x 计算 其中L为上半圆周 提示: 沿逆时针方向 . 练习1 设在右半平面x 0内, 力 构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关. 提示: 令 易证 F沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为 练习2 求力沿有向闭曲线所作的 功,其中为平面x + y + z = 1被三个坐标面所截成三 提示: 方法1 从 z 轴正向看去沿顺时针方向 . 利用对称性 角形的整个边界, 练习3 设三角形区域为 , 方向向上, 则 方法2 利用斯托克斯公式 二、曲面积分的计算法 1. 基本方法 曲面积分 第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 ) 转化 二重积分 (1) 统一积分变量 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 第一类: 始终非负 第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 思 考 题 1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例. 2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对 ! 对坐标的积分与 的侧 有关 2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化 思考: 其中为半球面 的上侧. 且取下侧 , 提示: 以半球底面 原式 = 记半球域为 , 高斯公式有 1.计算 为辅助面, 利用 例1. 证明: 设 (常向量) 则 单位外法向向量, 试证 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量,n 为的 例2. 计算曲面积分 其中, 解: 思考: 本题 改为椭球面 时,应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 内侧, 然后用高斯公式 . 例3. 设 是曲面 解: 取足够小的正数, 作曲面 取下侧 使其包在 内 , 为 xoy 平面上夹于 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算 则 第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得 例6. 计算曲面积分 中 是球面 解: 利用对称性 用重心公式