2019版数学人教B版必修5课件：1.1.1 正弦定理

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程. 2.掌握正弦定理,并初步学会用正弦定理解决简单的三角形度量 问题. 3.依据正弦定理判断三角形的形状. 1.正弦定理 名师点拨1.从方程的观点看,正弦定理有三个等式,可视为三个方 程,每个方程含有四个量,可知三求一. 2.适用范围:对任意的三角形都成立. 3.结构形式:分子为边长、分母为该边所对角的正弦的连等式. 4.在同一三角形中边角的不等关系:若ABC,可得 abc,则sin Asin Bsin C; 反之,若sin Asin Bsin C,可得abc,则ABC. 【做一做1-1】 在ABC中,一定成立的等式有( ) A.asin A=bsin BB.asin B=bsin A C.acos A=bcos BD.acos B=bcos A 答案:B 【做一做1-2】 在ABC中,已知AC=2,BC=3,sin A= ,则sin B=( ) 答案:A 2.正弦定理的适用范围 利用正弦定理,可解决两类解三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其他的边和角; (2)已知两边和其中一边的对角,首先求另一边的对角,然后求出 其他的边和角. 【做一做2】 在ABC中,已知a= ,b=4,A=30°,则B= . 由ba,得B=60°或B=120°. 答案:60°或120° 3.解三角形 解三角形是指由三角形的六个元素(三条边和三个角)中的三个 元素(至少有一个是边),求其余三个未知元素的过程. 一二 一、判断三角形解的个数 剖析:(1)代数法 在ABC中,已知a,b,A,由正弦定理可得sin B= sin A=m. 当m1时,这样的B不存在,即三角形无解. 当m=1时,B=90°,若Ab,A为钝角,故有一解. 因此正确答案为D. 答案:D 题型一题型二题型四题型三 判断三角形的形状 【例3】 在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且 ,试判断ABC的形状. 分析:将式中的a,b,c分别用2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C(R为ABC外 接圆半径)来代替是解决本题的关键. 所以tan A=tan B=tan C. 又因为A,B,C是ABC的内角, 所以A=B=C, 所以ABC是等边三角形. 题型一题型二题型四题型三 反思已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两种思路 :其一,先化边为角,再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系;其 二,先化角为边,再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系. 题型一题型二题型四题型三 【变式训练3】 已知在ABC中,A,B所对的边分别是a和b,若 acos B=bcos A,试判断ABC的形状. 得a=2Rsin A,b=2Rsin B. 又acos B=bcos A, 故sin Acos B=sin Bcos A, 即sin(A-B)=0. 由-b, tan Atan B, tan A=3,tan B=2. 题型一题型二题型三题型四 反思在求三角形的面积时,应注意运用三角形中的常见性质以及 两角和与差的正、余弦公式.当已知条件不满足三角形面积公式的 条件时, 一般可通过正弦定理求出所需要的量,再计算三角形的面 积. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练4】 在ABC中,B= ,求ABC的面 积. 题型一题型二题型三题型四 易错辨析 易错点:忽视角的取值范围而致误 【例5】 在ABC中,若a2tan B=b2tan A,试判断ABC的形状. 整理得sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B, 2A=2B, 故ABC为等腰三角形. 题型一题型二题型三题型四 错因分析:在判断三角形形状时忽视内角 A, B的范围在 (0,),2A,2B的范围应为(0,2),所以由sin 2A=sin 2B求解时应有 2A=2B或2A=-2B两种情况,即A=B或A+B= . 正解:a2tan B=b2tan A, 又由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B, sin Acos A=sin Bcos B. 即sin 2A=sin 2B. 0B. 又A=150°,所以只有一解; 对于C项,因为ab. 答案:ab 1 2 3 4 5 5在ABC中,已知 ,试判断ABC的形状. 所以sin Acos A=sin Bcos B, 即2sin Acos A=2sin Bcos B, 所以sin 2A=sin 2B. 因为A,B为三角形的内角, 所以2A=2B或2A+2B=, 所以ba,所以BA,