解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面汇编

观察柱面的形成过程:,定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,柱面,母线,准线,柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,设柱面的准线为,母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3),从（2）（3）中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 母线/ 轴,双曲柱面母线/ 轴,抛物柱面母线/ 轴,1. 椭圆柱面,2. 双曲柱面,例1、柱面的准线方程为,而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。,例2、已知圆柱面的轴为,点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。,（2）母线平行于坐标轴的柱面方程 、 F(x , y ) = 0 准线C: xOy 平面上的曲线F(x, y) = 0 母线L与z 轴平行； 、G(x , z) = 0 准线C: xOz 平面上的曲线G(x, z) = 0 母线L与y 轴平行； 、H( y , z) = 0 准线C: yOz 平面上的曲线H(y, z) = 0 母线L与x 轴平行.,例如抛物柱面 y - x2 = 0 C: xOy 平面上的抛物线 y - x2 = 0 L:平行于z 轴,圆柱面 x2 +z2= 1 C: xOz 平面上的圆 x2 +z2= 1 L:平行于y 轴,空间曲线在坐标面上的投影 1、概念 C：空间曲线 投影柱面S：以C为准线， 母线平行于坐标轴的柱面。 投影C：投影柱面与投影坐标面的交线。,C,S,2、求解步骤 空间曲线C的一般方程 (1) 投影柱面方程 (2) 投影曲线方程,例 已知两球面的方程为 求它们的交线C在xOy面上的投影方程 解 消去变量z，得投影柱面方程 于是投影方程为,例 设一个立体由上半球面 与锥面 所围成，求它在xOy面上的投影 解 半球面与锥面的交线 C:,消去变量，得投影柱面方程 投影曲线方程 所求立体在xOy面上的投影就是该圆在xOy面上 所围成的区域,旋转曲面,一、. 旋转曲面,1、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的轴. 曲线C称为放置曲面的母线,二、旋转曲面的方程,在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：,旋转直线为：,其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴 L的方向数。,设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 心，|P0M1|为半径的球面的交线。,所以过M1的纬圆的方程为：,当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆， 这些纬圆就生成旋转曲面。,又由于M1在母线上，所以又有：,从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一 个三元方程：,F(x,y,z)=0,这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。,例1、求直线,绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。,解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴 通过原点，所以过M1的纬圆方程是：,又由于M1在母线上，所以又有：,即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：,2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。,下面特殊的旋转曲面,曲线 C,C,绕 z轴,曲线 C,C,绕z轴,.,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,绕 z轴,.,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：,已知yoz面上一条曲线C, 方程为f (y, z) = 0, 曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.,设M1(0, y1, z1)是C上任意一点, 则有f( y1, z1) = 0,当C绕 z 轴旋转而M1随之转到M (x, y, z)时, 有,将z1 = z, 代入方程f( y1, z1) = 0,得旋转曲面的方程:,即,规律：,当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐 标。,解,圆锥面方程,例2: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.,解: 将 y 用 代入直线方程, 得,平方得:,z2 = a2 ( x2 + y2 ),该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.,例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,（单叶）,（双叶）,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,例4、将圆,绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。,解：所求旋转曲面的方程为：,即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2),该曲面称为圆环面。,环面,r,R,绕 y轴 旋转所成曲面,5环面,绕 y轴 旋转所成曲面,.,环面,绕 y轴 旋转所成曲面,环面方程,.,生活中见过这个曲面吗？,.,.,救生圈,.,环面,旋转椭球面,旋转抛物面,（长形）,（短形）,旋转椭球面,旋转抛物面,第四节 二次曲面,二次曲面的定义：,三元二次方程,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的平面截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,一、基本内容,所表示的曲面称之为二次曲面,ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,第四节 椭球面,一、性质,1. 对称性,中心 ：,坐标原点（1个）;,主轴 ：,x轴、y轴和z轴（3条）;,主平面：,xOy面、yOz面和zOx面（3个）.,2. 截距和顶点,x=0, y=0 z有解,则z 轴上两个顶点；,x=0, z=0 ,则y轴上有两个顶点:,z=0, y=0 ,则x轴上有两个顶点:,椭球面的方程,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆,当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;,当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.,二. 几种常见二次曲面.,（一） 椭球面,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,3 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:,特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原点o, 半径为a的球面.,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,（二）双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,截痕为一对相交于点 的直线.,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直线.,一、概念,在空间直角坐标系中，由方程,所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程.,方程,与,表示的曲面也是单叶双曲面.,二、性质,1. 对称性,中心 ：,坐标原点（1个）;,主轴 ：,x轴、y轴和z轴（3条）;,主平面：,xOy面、yOz面和zOx面（3个）.,2. 截距和顶点,x=0, y=0 z无解,则z 轴上没有顶点；,x=0, z=0 y = ±b,则y轴上有顶点:,z=0, y=0 x = ±a,则x轴上有顶点:,（0，±b ，0）（2个）；,（±a，0，0）（2个）.,3.主截线,(1),: 双曲线,实轴为y轴, 虚轴为z轴;,: 双曲线,实轴为x轴, 虚轴为z轴;,(2),(3),: (腰椭圆）.,4.平行截线,无论h取何值，此方程组总表示在平面:,上的椭圆，,它的两半轴为：,与,此时椭圆的两轴端点,（± ，0， h）,与,（0， ± ， h）,分别在两条主截线,（双,曲线）上，,且所在平面与腰椭圆平行.,结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。,三、图形,根据以上讨论，可画出单叶双曲面的图形如下：,主双曲线（yoz面）,腰椭圆（xoy面）,主双曲线 （xoz面）,双叶双曲面,（三）抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,（ 与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,本章学习结束,谢谢大家,