陕西省西安市长安区2018届高三数学上学期第四次质量检测试题-理

2017-2018学年度第一学期第四次教学质量检测高三理科数学试题第一部分（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 设复数满足，则（ ）A. 1 B. C. D.22. 已知集合，则（ ）A. B. C. D.3. 已知向量，则向量的夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D.4. 执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为7，第二次输入的的值为9，则第一次、第二次输出的的值分别为( ) A. 0，0 B. 1，1 C. 0，1 D. 1，05. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A B C D6.已知符号函数 是上的增函数，则（ ） A B C D7函数是偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 8在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）A B C D 9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛10. 设双曲线（）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D。若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11. 如下图，在小正方形边长为的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.第二部分（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.）13. 设是等差数列的前项和，已知，则 .14.若x，y满足约束条件，则的最大值为 . 15如图，在同一个平面内，向量，的模分别为， 与的夹角为，且, 与的夹角为45°若，则= 16若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分) 设f（x）=2（x+）.（）求f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求ABC面积的最大值。18. (本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角的正弦值19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？20.(本小题满分12分)已知椭圆E：1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|·|PB|，并求的值21.(本小题满分14分)已知函数，(I)证明：当；(II)证明：时，存在,使得对(III)确定的所有可能取值，使得存在，对任意的恒有.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.22.(本小题满分分)选修：坐标系与参数方程选讲.在平面直角坐标系中，曲线（为参数，实数），曲线（为参数，实数）. 在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与交于两点，与交于两点. 当时，；当时，.（1）求的值； （2）求的最大值.23.(本小题满分分)选修：不等式选讲.设函数（，实数）.（1）若，求实数的取值范围； （2）求证： .长安一中2017-2018学年度第一学期第四次教学质量检测高三理科数学参考答案一、 选择题：ACCDD BABBA DC二、 填空题：49, 3， 3， 17. 解：（）由题意 由 可得 由 得 所以的单调递增区间是（）单调递减区间是（） （II）由题意A是锐角，所以 ;由余弦定理：，且当时成立 面积最大值为18. (1)证明由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)解如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4,3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n.sinm，n.因此二面角B-DA-C的正弦值是.19. 解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08；P(X22)0.2×0. 20.04；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040(元)当n20时，E(Y)20×200×0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080(元)可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.20.(1)解由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2,1)(2)证明由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由>0，解得<m<.由得x1x2，x1x2.所以|PA|，同理|PB|.所以|PA|·|PB|m2.故存在常数，使得|PT|2|PA|·|PB|.21.解法一：(I)令则有当 ,所以在上单调递减,故当.(II)令则有当 ,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意.当.取,所以在上单调递增, ,即.综上，当时，总存在,使得对任意的.(III)当时，由（1）知，对于，令，则有故当时， ,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.当时，由（II）知存在,使得当.此时,令，则有故当时，,N（x）在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（I）知，当x>0时，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，.解法二：（I）（II）同解法一.（III）当时，由（I）知，对于，故，令，从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.当时，取由（II）知存在,使得x（0，x0），.此时,令，此时 ,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（I）知，x>0，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，.22.【解析】（）将化为普通方程为，其极坐标方程为，由题可得当时，. 将