高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值问题导学案 新人教A版选修2-3

2.3.1离散型随机变量的均值问题导学一、求离散型随机变量的均值(数学期望)活动与探究1从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽到的可能性相同若抽取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及数学期望迁移与应用1随机变量X的分布列为X101P则E(X)等于()A B C D12在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与数学期望求离散型随机变量的均值的步骤：(1)根据的实际意义，写出的全部取值；(2)求出取每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)利用定义求出均值二、离散型随机变量的期望的性质活动与探究2已知随机变量的分布列为101Pm若a3，E()，则a()A1 B2 C3 D4迁移与应用1设E()10，则E(35)()A35 B40 C30 D152设的分布列为1234P，又设25，则E()_若给出的随机变量与X的关系为aXb，a，b为常数一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E()三、二项分布的均值及其应用活动与探究3某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张每次抽奖互不影响(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为(元)，用表示，并求的数学期望迁移与应用某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取假设任一客户去领奖的概率为4%问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？(1)如果随机变量X服从两点分布，则E(X)p(p为成功概率)(2)如果随机变量X服从二项分布即XB(n，p)，则E(X)np，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程四、数学期望的应用活动与探究4某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比”；(2)“性价比”大的产品更具可购买性迁移与应用1甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此判定()A甲比乙质量好 B乙比甲质量好C甲与乙质量相同 D无法判定2某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元两种产品的生产质量相互独立设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X，求X的分布列和该工厂生产甲、乙产品各1件获得利润的数学期望(1)实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计(2)概率模型的解答步骤审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论答案：课前·预习导学【预习导引】1(1)x1p1x2p2xipixnpn(2)平均水平(3)aE(X)b预习交流1(1)提示：随机变量的均值是常数，而样本的均值随样本的不同而变化；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本均值就越来越接近总体的均值(2)提示：E(X)1×0.53×0.34×0.22.2(3)提示：52(1)p(2)np预习交流2提示：E(X)5×0.31.5课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：先确定好抽取次数X的取值，再求出对应的概率，从而得到X的分布列及数学期望解：由题意知X的取值为2,3,4,5当X2时，表示前2次取的都是红球，P(X2)；当X3时，表示前2次中取得一红球，一白球或黑球，第3次取红球，P(X3)；当X4时，表示前3次中取得一红球，2个不是红球，第4次取红球，P(X4)；当X5时，表示前4次中取得一红球，3个不是红球，第5次取红球，P(X5)X的分布列为X2345P数学期望E(X)2×3×4×5×4迁移与应用1A解析：由E(X)(1)×0×1×，可知选A2解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)1P()11(2)的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)从而知的分布列为01234PE()0×1×2×3×4×活动与探究2思路分析：先由分布列的性质求出m，从而可求E()，利用期望的性质E()aE()3求出aB解析：由分布列的性质得m1，mE()1×0×1×E()E(a3)aE()3a3，a2迁移与应用1A解析：E()10，E(35)3E()53×105352解析：E()1×2×3×4×E()E(25)2E()52×5活动与探究3思路分析：由题意知抽奖券4次，相当于独立重复试验4次，每次中奖的概率为，所以服从二项分布，从而求解相应的问题解：(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此BP(0)×4，P(1)×4，P(2)×4，P(3)×4，P(4)×4其分布列为01234P(2)B，E()4×2又由题意可知2 300100，E()E(2 300100)2 300100E()2 300100×22 100(元)即所求变量的数学期望为2 100元迁移与应用解：设来领奖的人数k(k0，1，3 000)，P(k)C(0.04)k(10.04)3 000k，则B(3 000,0.04)，那么E()3 000×0.04120(人)100(人)俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请活动与探究4思路分析：(1)根据题意，结合均值的计算与概率分布列的性质列方程组，解之即可；(2)将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由均值公式可得答案；(3)由题意及(2)的结论，可得两厂产品的均值，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案解：(1)因为E(X1)6，所以5×0.46a7b8×0.16，即6a7b3.2又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5由解得(2)由已知得，样本的频率分布列如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)3P(X23)4P(X24)5P(X25)6P(X26)7P(X27)8P(X28)3×0.34×0.25×0.26×0.17×0.18×0.14.8即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为1因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为1.2据此，乙厂的产品更具可购买性迁移与应用1A解析：E(X)0×0.71×0.12×0.13×0.10.6，E(Y)0×0.51×0.32×0.23×00.7由于E(Y)E(X)，故甲比乙质量好2解：由题设知，X的取值为10,5,2，3P(X10)0.8×0.90.72，P(X5)0.2×0.90.18，P(X2)0.8×0.10.08，P(X3)0.2×0.10.02X的分布列为X10523P0.720.180.080.02E(X)10×0.725×0.182×0.083×0.028.2(万元)获得利润的数学期望为8.2万元当堂检测1设随机变量X的分布列为P(Xk)，k1,2,3,4，则E(X)的值为()A2.5 B3.5 C0.25 D2答案：A解析：E(X)1×2×3×4×2.52某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率