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交通大学保送生数学试题讲解

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交通大学保送生数学试题讲解

交通大学2010年保送生数学试题1、填空题(本题共24分,每小题3分)1设f(x)的原函数是,则_2设,则函数(的最小值是_3方程的解x_4向量在向量上的投影_5函数的单调增加区间是_6两个等差数列200,203,206,和50,54,58都有100项,它们共同的项的个数是_7方程7x2-(k+13)x+k2-k-20的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是_8将3个相同的球放到4个盒子中,假设每个盒子能容纳的球数不限,而且各种不同的放法的出现是等可能的,则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是_2、选择题(本题共15分,每小题3分在每小题给出的4个选项中,只有一项正确,把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二,则31998天之后是( )A星期四B星期三C星期二D星期一2用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作拼字游戏,若字母的各种排列是随机的,恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是( )ABCD3方程cos2x-sin2x+sinxm+1有实数解,则实数m的取值范围是( )ABm >-3Cm >-1D4若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q0的两个根,则此数列各项的积是( )ApmBp2mCqmDq2m5设f (x0)2,则( )A-2B2C-4D43、证明与计算(本题61分)1(6分)已知正数列a1,a2,an,且对大于1的n有,试证:a1,a2,an中至少有一个小于12(10分)设3次多项式f(x)满足:f(x+2)-f(-x),f(0)1,f(3)4,试求f(x)3(8分)求极限4(10分)设在x0处可导,且原点到f(x)中直线的距离为,原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3,试求b,c,l,m的值(b,c>0)5(8分)证明不等式:,6(8分)两名射手轮流向同一目标射击,射手甲和射手乙命中目标的概率都是若射手甲先射,谁先命中目标谁就获胜,试求甲、乙两射手获胜的概率OyxB1A2A1B27(11分)如图所示,设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1,A1B2A2,直角顶点在曲线上试求An的坐标表达式,并说明这些三角形的面积之和是否存在复旦大学2010年保送生招生测试数学试题(理科)一、填空题(每小题10分,共60分)1将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数,第三组含三个数,第n组含n个数,即1;2,3;4,5,6;令an为第n组数之和,则an_2_3_4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角,和底面成60度角,则两对角面面积之比为_5正实数x,y满足关系式x2-xy+40,又若x1,则y的最小值为_6一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时,有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件,然后原速返回,返回中与车尾相遇时,此人发现这时正在离站台1000米处,假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了_米二、解答题(每小题15分,共90分)1数列an适合递推式an+13an+4,又a11,求数列前n项和Sn2求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗?请叙述但不必证明3正六棱锥的高等于h,相邻侧面的两面角等于,求该棱锥的体积()4设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点,若z1+z2+z3+z4=0求证:这四个点组成一个矩形5设,其中xn,yn为整数,求n时,的极限6设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过1问:半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点请证明你的结论2010年交大联读班试题1. 直线关于的对称直线为_。2. 已知是的三边,且满足,则是_的三角形。3. 已知,则_。4. 已知满足:,则的最小正周期是_。5. 已知是偶函数, 是奇函数,且,则_。6. 是的三边,且,则_。7. 是十进制的数,是的各个数字之和,则使成立的最小的是_。8. _。9. 函数的反函数是_。10. 已知数列(是不等于1的常数),则_。11. 从自然数1至100中任取2个相乘,其结果是3的倍数的情况有种_。(取出的数不分先后)12. 己知在处可导,则_。13. 已知为整数,为非负整数,则整点的个数为_。14. 抛物线上,点坐标为,抛物线在点的切线与轴及直线夹角相等,求点P的坐标。15. 在中,求证:求。16. 已知,若点在单位圆上以为起点按顺时针方向转一圈,求点的轨迹;若点 在直线上运动,而点在过点的直线上运动,求,的值。17. 若满足,求下列函数的最小值:;。18. 若方程有3个不同实根,求实数的取值范围。19. 己知函数满足,又,求函数的解析式。20. 口袋中有4个白球,2个黄球,一次摸2个球,摸到的白球均退回口袋,保留黄球,到第次两个黄球都被摸出,即第次时所摸出的只能是白球,则令这种情况的发生概率是,求。2010复旦基地班数学试题1. 设函数的反函数是它自身,则常数_。2. 不等式的解集是_。3. 直线与间的距离是_。4. 如果的展开式的系数和是的展开式的系数和的512倍,那么自然数与的关系为_。5. 椭圆的焦距是_。6. 己知,那么的最小值为_。7. 与正实轴夹角为的直线的斜率记为,则_。(结果用数值表示)8. 从个人中选出名正式代表与若干名非正式代表,其中非正式代表至少1名且名额不限,则共有_种选法。9. 正方体中,与截面所成的角为_。10. _。(结果用数值表示)11. 函数的最小正周期是( )A B C2 D112. 设函数的反函数为,则对于内的所有值,一定成立的是( )A B C D13. 除以9所得的余数是( )A6 B C8 D114. 抛物线的准线方程为( )A B C D15. 由参数方程所表示的曲线是( )A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆16. 己知抛物线与关于点对称,则的值为( )A1 B2 C3 D417. 作坐标平移,使原坐标下的点,在新坐标下为,则在新坐标下的方程为( )A B C D18. 设有四个命题:两条直线无公共点,是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件;一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件;空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。是平面外的两条直线,且,则是的必要而不充分条件,其中真命题的个数是( )A3 B2 C1 D019. 集合各有四个元素,有一个元素,集合含有三个元素,且其中至少有一个的元素,符合上述条件的集合的个数是( )A55 B52 C34 D3520. 全面积为定值(其中)的圆锥中,体积的最大值为( )A B C D 21. 已知:,求及。22. 设复数满足:,其中是虚数单位,是非零实数,求。23. 已知椭圆与抛物线在第一象限内有两个公共点,线段的中点M在抛物线上,求。24. 设数列满足,其前项乘积,证明是等比数列。求中所有不同两项的乘积之和。25. 己知棱柱的底面是等腰三角形,上底面的项点在下底面的射影是的外接圆圆心,设,棱柱的侧面积为。证明:侧面和都是菱形,是矩形。求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。求棱柱的体积。26. 在直角坐标系中,是原点,是第一象限内的点,并且在直线上(其中),是双曲线上使的面积最小的点,求:当取中什么值时,的面积最大,最大值是多少?2009年交大联读班数学试卷1. 数的位数是_。2. 求_。3. ,则用表示_。4. ,求_。5. ,求的最小值为_。6. 有一盒大小相同的球,它们既可排成正方形,又可排成一个正三角形,且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球,球数为_。7. 数列中,求_。8. 展开式中系数为_。9. 一人排版,有三角形的一个角,大小为,角的两边一边长,一边长,排版时把长的那边错排成长,但发现角和对边长度没变,则_。10. 掷三粒骰子,三个朝上点恰成等差列的概率为_。11. ,则( )12. A B C D13. 某人向正东走,再左转朝新方向走了,结果离出发点,则( )A B C3 D不确定14. ( )A B C D15. ,则( )A, B的面积 C对,第一象限 D,的圆心在上16. 一个圆盘被条等间隔半径与一条割线所分割,则不交叠区域最多有( )个A B C D17. ( )A B C D18. 对,定义,则满足( )A交换律

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